Budowa i Ewolucja Gwiazd - "Urania-Postępy Astronomii"

Wykłady z astrofizyki

Spis
treści

Spis
wykładów

Budowa i Ewolucja
Gwiazd

prof. Bohdan Paczyński

ver. 1.01

XI. Przepływ promieniowania.

W warunkach LTE (lokalnej równowagi termodynamicznej), promieniowanie ma rozkład planckowski (ciała doskonale czarnego). Gęstość energii promieniowania jest dana jako

c³

a natężenie promieniowania (mierzone w ergach na jednostkę powierzchni, na sekundę, na jednostkowy kąt bryłowy, czyli na steradian), to

U_{r, ν}

Całki z U_{r, ν} i B_ν(T) po wszystkich częstotliwościach, są dane jako

U_{r, ν}dν = aT⁴

gdzie P_r = aT⁴ ⁄ 3 jest ciśnieniem promieniowania.

Wewnątrz gwiazdy warunki są bardzo zbliżone do LTE, musi być jednakże pewna anizotropia pola promieniowania, jeśli występuje przepływ promieniowania z głębokiego wnętrza ku powierzchni. Rozważymy natężenie promieniowania jako funkcję jego częstotliwości, pozycji wewnątrz gwiazdy i kierunku, w którym poruszają się fotony. Rozważać będziemy jedynie gwiazdy sferyczne, tak więc zależność od położenia będzie po prostu zależnością od promienia r, czyli odległości od centrum. Zależność kątowa jest zredukowana do zależności od kąta pomiędzy promieniem światła, a kierunkiem na zewnątrz, który będziemy nazywać kątem polarnym θ. Natężenie staje się I_ν(r, θ).

Rozpatrzmy zmianę natężenia promieniowania w kierunku θ, w odległości r, gdy poruszamy się wzdłuż wiązki o małą odległość dl = dr ⁄ cosθ. Natężenie będzie zmniejszone o ilość proporcjonalną do nieprzezroczystości na jednostkę objętości, κ_νρ pomnożoną przez dl, gdzie ρ jest gęstością materii, a κ_ν jest nieprzezroczystością monochromatyczną w jednostkach cm² g^-1. Co więcej, natężenie zwiększy się o ilość proporcjonalną do emisyjności gazu. W warunkach niemal LTE, emisyjność na jednostkę objętości jest dana jako iloczyn κ_νρB_ν(T). Równanie przepływu promieniowania monochromatycznego, jest zapisane jako

= -κ_ν(ρ, T, X)ρI_ν(θ, r) + κ_ν(ρ, T, X)ρB_ν(T)

(tr.4)

gdzie zależność współczynnika nieprzezroczystości od częstotliwości fotonu, jak również od gęstości, temperatury i składu chemicznego gazu, została zapisana jako κ_ν(ρ, T, X). Od teraz będziemy ją zapisywać jako κ_ν.

Gęstość energii promieniowania monochromatycznego, może być obliczona jako

U_{r, ν} =

gdzie całkowanie rozciąga się po całym kącie bryłowym 4π. Z powodu symetrii azymutalnej, całka ta może być zapisana jako

U_{r, ν} =

Całkowita gęstość energii promieniowania jest dana jako

U_{r, ν}dν

Monochromatyczny strumień promieniowania w kierunku r może być obliczony jako

a całkowity strumień promieniowania, mierzony w erg cm^-2 s^-1, jest dany jako

Będziemy poszukiwać rozwiązania w postaci szeregu potęgowego

I_{ν, n}(r)cosⁿθ

Wstawimy teraz to rozwinięcie do równania przepływu promieniowania (tr.4), scałkujemy wszystkie składniki po wszystkich kątach i porównamy składniki o tej samej potędze cosθ. Pozwoli to nam zastąpić równanie z pochodnymi cząstkowymi (tr.4) przez nieskończoną liczbę zwyczajnych równań różniczkowych

κ_νρ

w których współczynniki I_{ν, n} nie zależą od kąta θ. W typowym wnętrzu gwiazdowym, możemy mieć ρ ≈ 1 g cm^-3, κ_ν ≈ 1 cm² g^-1 i r ≈ 10¹¹ cm. Dlatego I_{ν, n}(r) ≈ - I_{ν, n - 1}(r) ⁄ κ_νρ ≈ - I_{ν, n - 1}(r) ⁄ 10¹¹, a szeregi gwałtownie zbiegają się. Interpretacja fizyczna jest prosta: głęboko wewnątrz gwiazdy, pole promieniowania jest niemal izotropowe.

Pierwsze z równań (tr.11) mówi nam, że natężenie promieniowania uśrednione po wszystkich kątach, jest równe funkcji Plancka. Drugie z tych równań, połączone z równaniem (tr.8), daje

F_ν = 2π

∫

I_ν(θ, r)cosθsinθdθ = 2π

∫

I_ν, 1(r)cos²θsinθdθ =

Całkowity strumień energii promienistej jest całką z F_ν po wszystkich częstotliwościach (por. równanie 9), czyli

κ_ν

dP_r

dT⁴

gdzie średnia nieprzezroczystość Rosselanda jest zdefiniowana jako

κ_ν

κ_ν

Oczywiście, średnia nieprzezroczystość Rosselanda jest funkcją gęstości, temperatury i składu chemicznego, κ(ρ, T, X).

Równanie (tr.13) może być zapisane jako

L_r

dU_r

gdzie L_r = 4π r²F jest dzielnością promieniowania gwiazdy w promieniu r, czyli całkowita ilość energii promienistej przepływającej przez powierzchnię sferyczną o promieniu r, a U_r jest gęstością energii promieniowania. Ostatnie równanie wygląda zupełnie jak równanie na dyfuzję ciepła, ze współczynnikiem przewodnictwa cieplnego λ związanym ze współczynnikiem nieprzezroczystości, zależnością

Ponieważ ciepło może być przenoszone nie tylko przez fotony, lecz także przez elektrony, bezpieczniejszym może być zapisanie ostatniego równania jako

gdzie λ_rad i κ_rad są w sposób jawny związane z promieniowaniem. Możemy zapisać podobną zależność dla elektronów:

gdzie λ_el i κ_el są współczynnikami przewodnictwa cieplnego i „nieprzezroczystości” elektronów. Podczas gdy rozsądne jest myślenie o współczynniku przewodnictwa cieplnego dla fotonów, to już nieco zabawne jest używanie terminu „nieprzezroczystość” w odniesieniu do ciepła przenoszonego przez elektrony. Niemniej jednak, obie zależności, (tr.17) i (tr.18), można traktować jako definicję jednej wielkości (np. nieprzezroczystości), gdy jest dana druga wielkość (np. współczynnik przewodnictwa cieplnego).

W ogólności, pewna ilość ciepła może być przenoszona przez fotony, a inna — przez elektrony. Ponieważ te dwie metody transportu ciepła są addytywne, łączny współczynnik przewodnictwa cieplnego może być obliczony jako

λ = λ_rad + λ_el

(tr.19)

lub też równoważnie, możemy napisać wzór na łączny współczynnik nieprzezroczystości, jako

κ_rad

κ_el

(tr.20)

Zauważmy, że jeśli są dwa niezależne nośniki przepływu ciepła, np. fotony i elektrony, wówczas łączny współczynnik przewodnictwa cieplnego jest większy, a łączny współczynnik nieprzezroczystości jest mniejszy, niż odpowiednie współczynniki dla obu nośników. W większości przypadków, nie trzeba być przesadnie starannym, jeśli chodzi o indeksy „rad” i „el”, ponieważ transport ciepła jest zdominowany przez fotony, gdy gaz nie jest zdegenerowany, natomiast przez elektrony, gdy gaz ten jest zdegenerowany. Przejście pomiędzy tymi dwoma warunkami jest bardzo gwałtowne.

Rozpatrzymy obecnie transport promieniowania w gwiazdowych otoczkach i atmosferach, gdzie elektrony nie przyczyniają się do przewodzenia ciepła. Stąd też, będziemy korzystać ze współczynnika nieprzezroczystości bez jakiegokolwiek indeksu, rozumiejąc, że odnosi się on do średniej nieprzezroczystości Rosselanda, zdefiniowanej przez równanie (tr.14). Być może jest zadziwiające, że równanie (tr.15), otrzymane przy założeniu, że pole promieniowania jest niemal izotropowe, jest bardzo dobrze spełnione aż do gwiazdowej powierzchni, gdzie ciśnienie promieniowania nie jest już dobrze zdefiniowane, ponieważ pole promieniowania staje się wysoce anizotropowe. Na samej powierzchni gwiazdy jedna półkula, ku gwieździe, jest jasna, podczas gdy druga półkula, skierowana w przestrzeń, jest ciemna. W takich warunkach, gęstość energii promieniowania wciąż może być liczona stosownie do równania (tr.7) i możemy oszacować temperaturę z gęstości energii promieniowania, korzystając z zależności dla LTE (tr.3a).

W pobliżu powierzchni gwiazdy, luminosity i promień można przyjąć jako L i R, a strumień energii promienistej wynosi F = L ⁄ 4πR². Zdefiniujmy głębokość optyczną τ, jako

Możemy zapisać teraz równanie (tr.13), jako

dT⁴

T⁴ = T₀⁴ +