Urania-Postępy Astronomii
Wykłady z astrofizyki   
Urania-Postępy Astronomii Urania-Postępy Astronomii


Spis
treści
Spis
wykładów

Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 1.00


XV. Gwiazdy w równowadze hydrostatycznej (stabilność ter-
       miczna).

   1. Energia grawitacyjna i równowaga hydrostatyczna.
    Rozważać będziemy gwiazdy znajdujące się w równowadze hydrostatycznej, ale niekoniecznie w równowadze termicznej. Zdefiniujmy kilka oznaczeń:
U =  gęstość energii kinetycznej, lub w ogólności wewnętrznej        [erg cm-3] ,
(eql.1a)
u ≡ 
U
ρ
        [erg g-1] ,
(eql.1b)
Eth ≡ 
R
∫
0
 U4π r2dr =
M
∫
0
 udMr =  energia termiczna gwiazdy ,        [erg] ,
(eql.1c)
Ω = –
M
∫
0
GMrdMr
r
  =  energia grawitacyjna gwiazdy ,        [erg] ,
(eql.1d)
Etot = Eth + Ω =  energia całkowita gwiazdy ,        [erg] ,
(eql.1e)

    Będziemy korzystać z równania równowagi hydrostatycznej
dP
dr
  = – 
GMr
r2
  ρ ,
(eql.2)
oraz zależności pomiędzy masą i promieniem
dMr
dr
  = 4π r2ρ ,
(eql.3)
by znaleźć związki pomiędzy termiczną i grawitacyjną energią gwiazdy. Ponieważ wielokrotnie będziemy dokonywać zmiany zmiennych, przyjmiemy konwencję używania „c” jako symbolu centrum gwiazdy i dolnej granicy całki oraz „s” jako symbolu powierzchni gwiazdowej i górnej granicy całki. Przekształcimy formułę całkową (eql.1d) tak, by związać ją z (eql.1c):
Ω = –
s
∫
c
GMrdMr
r
  = –
s
∫
c
GMr
r
  4π r2ρdr = –
s
∫
c
GMrρ
r2
  4π r3dr =
(eql.4)
s
∫
c
dP
dr
  4π r3dr = 
s
∫
c
 4π r3dP = 4π r3P|cs –
s
∫
c
 12π r2Pdr =
– 3
s
∫
c
 P4π r2dr = Ω .
Nasz końcowy wynik: energia grawitacyjna gwiazdy w równowadze hydrostatycznej jest równa trzykrotności całki z ciśnienia w gwieździe po całej objętości.

    Użyjemy teraz związku pomiędzy ciśnieniem a gęstością energii w dwóch granicach. Po pierwsze, w granicy nierelatywistycznej (NR) mamy U = 1.5P, a stąd:
Ω = –2
s
∫
c
 U4π r2dr = – 2Eth ,       (NR) ,
(eql.5a)
natomiast w granicy ultrarelatywistycznej (UR) mamy U = 3P i
Ω = –
s
∫
c
 U4π r2dr = – Eth ,       (UR) ,
(eql.5b)
Równania te dają również
Etot = Ω + Eth = 
1
2
  Ω < 0       (NR),
(eql.6a)
Etot = 0        (UR),
(eql.6b)

    Przypadek nierelatywistyczny jest równoważny dobrze znanemu twierdzeniu o wiriale. Wynik ultrarelatywistyczny jest nieco paradoksalny, gdyż całkowita energia gwiazdy jest równa zeru. Wynik ten jest jednak jedynie przybliżony, ponieważ odnosi się do przypadku, kiedy wszystkie cząstki w gwieździe poruszają się z prędkością światła. Granica ta nie jest nigdy w pełni osiągana, a nasz wynik wskazuje jedynie na to, iż w pobliżu tej granicy, wartość absolutna całkowitej energii gwiazdy Etot jest dużo mniejsza niż Eth lub |Ω|.

   2. Bilans cieplny w gwieździe.
    Rozważmy obecnie równanie bilansu cieplnego dla gwiazdy. Może ono być zapisane jako
(
∂Lr
∂Mr
)
t		 = ∈n – ∈ν – T  (
∂S
∂t
)
Mr		 ,
(eql.7)
gdzie ∈n i ∈ν to odpowiednio tempa produkcji i utraty ciepła w reakcjach jądrowych oraz termicznej emisji neutrin, w jednostkach [erg g– 1 s– 1], a S to entropia na gram. Zdefiniujemy jądrową, neutrinową oraz „grawitacyjną” jasność gwiazdy jako
Ln = 
s
∫
c
 ∈ndMr ,
(eql.8a)
Lν = 
s
∫
c
 ∈νdMr ,
(eql.8b)
Lg = –
s
∫
c
 T  (
∂S
∂t
 )
Mr		 dMr ,
(eql.8c)
a całkowita jasność gwiazdy jest dana jako
L = Ln – Lν + Lg .
(eql.9)
    Według pierwszej zasady termodynamiki mamy, iż
TdS = d  (
U
ρ
 )  – 
P
ρ2
  dρ = du + Pd  (
1
ρ
 ) .
(eql.10)
Wygodnie jest zapisać jasność „grawitacyjną” jako sumę dwóch wyrazów, Lg = Lg1 + Lg2, gdzie
Lg1 = – 
s
∫
c
 (
∂u
∂t
 )
Mr		 dMr = – 
d
dt
   [
s
∫
c
 udMr ]  = – 
dEth
dt
 ,
(eql.11)
Lg2 = 
s
∫
c
P
ρ2
   (
∂ρ
∂t
 )
Mr		 dMr = – 
s
∫
c
 P  [
∂(1 ⁄ ρ)
∂t
 ]
Mr		 dMr .
(eql.12)
W celu zmodyfikowania ostatniej całki, zwróćmy uwagę na zależność
1
ρ
  = 
4π
3
   (
∂r3
∂Mr
 )
t		 .
(eql.13)
Poprzez połączenie równań (eql.12) i (eql.13) otrzymujemy
Lg2 = – 
4π
3
s
∫
c
 P 
∂
∂t
   (
∂r3
∂Mr
 )  dMr = – 
4π
3
s
∫
c
 P 
∂
∂Mr
   (
∂r3
∂t
 )  dMr =
(eql.14)
[ – 
4π
3
  P 
∂r3
∂t
 ]
s
c
  + 
4π
3
s
∫
c
∂P
∂Mr
  
∂r3
∂t
  dMr = 
– 
4π
3
s
∫
c
GMr
4π r4
  3r2 
∂r
∂t
  dMr = – 
s
∫
c
GMr
r2
  
∂r
∂t
  dMr = 
d
dt
   [
s
∫
c
GMrdMr
r
 ]  = – 
dΩ
dt
 .
    Łącząc równania (eql.11) i (eql.14) otrzymujemy
Lg = – 
dEth
dt
  – 
dΩ
dt
  = – 
dEtot
dt
 .
(eql.15)

    3. Stabilność termiczna modelu Eddingtona.
    Zastosujmy wyniki z dwóch ostatnich podrozdziałów do modelu Eddingtona masywnej gwiazdy. W całym modelu zakładamy, że β ≡ Pg ⁄ P = const i możemy połączyć równania (eql.1c) i (eql.4), by uzyskać
Eth ≡ 
R
∫
0
 U4π r2dr = 
R
∫
0
 (3Pr + 1.5Pg) 4π r2dr = (3 – 1.5β)
R
∫
0
 P4π r2dr =
(eql.16)
– (1 – 0.5β) Ω .
Model Eddingtona to politropa o indeksie n = 3, dla której istnieje prosta formuła analityczna na grawitacyjną energię potencjalną (por. równania poly.18 i eql.1d)
Ω = – 1.5 
GM2
R
 ,
(eql.17)
natomiast całkowitą energię gwiazdy można policzyć według
Etot = Eth + Ω = 0.58βΩ = – 0.75β 
GM2
R
 ,
(eql.18)
W wyniku połączenia równań (eql.15) i (eql.18), jasność „grawitacyjną” gwiazd można wyrazić jako
Lg = – 
dEtot
dt
  = – 0.75β 
GM2
R
  
dR
dt
 .
(eql.19)
Wiemy, że moc promieniowania wyświecona z powierzchni gwiazdy zależy jedynie od jej masy (dopóty, dopóki model Eddintona pozostaje słuszny) i dana jest równaniem (s2.7)
M
MSłońca
  = 
18.1
μ2
  
(L ⁄ LEdd)1 ⁄ 2
(1 – L ⁄ LEdd)2
 ,       LEdd ≡ 
4πcGM
κe
 .
(eql.20)
Jasność jądrowa dana jest równaniem (eql.8a). Przyjmując ∈ = ∈0ρTν, przy ν = 16 otrzymujemy
Ln =
R
∫
0
 ∈0ρTνdMr ~ R – (ν + 3) ,
(eql.21)
dla gwiazdy o ustalonej masie. Mówi się, że gwiazda znajduje się ciągu głównym, gdy jej jasność (promieniste utraty energii) jest zbilansowana przez źródło ciepła wywodzące się ze spalania wodoru. Dlatego też możemy zapisać
Ln = L  (
RMS
R
 )ν + 3 ,
(eql.22)
gdzie RMS jest promieniem gwiazdy będącej na ciągu głównym (jego wartość może być uzyskana poprzez numeryczne obliczenie całki danej równaniem eql.8a).

    Łącząc równania (eql.9, eql.19, eql.22) (i zaniedbując jasność neutrinową, która nigdy nie jest istotna dla gwiazd ciągu głównego), uzyskujemy równanie różniczkowe opisujące zmiany czasowe promienia gwiazdy:
dx
dt
  = C(1 – xν + 3) ,       x ≡ 
RMS
R
 ,       C ≡  (
4LRMS
3GM2β
 ) ,
(eql.23)
gdzie stała C zależy od masy gwiazdy i jej składu chemicznego, ale nie od jej promienia. Stała C ma wymiar [s – 1]. Wygodnie jest zdefiniować skalę czasową Kelvina – Helmholtza (termiczną) gwiazdy, jako
τK – H ≡ 
GM2
RL
 .
(eql.24)
Oprócz współczynnika bezwymiarowego rzędu jedności, stała C jest rzędu τK – H– 1.

    Łatwo widać, że równanie (eql.23) ma rozwiązanie asymptotyczne: x = 1, tj. R = RMS, czyli promień gwiazdy jest równy jego wartości na ciągu głównym. Możemy zadać pytanie: czy gwiazda z ciągu głównego jest stabilna termicznie? Jeśli dokonamy małego zaburzenia, czyniąc gwiazdę nieco mniejszą tudzież nieco większą, to czy perturbacja ta będzie rosnąć, czy też maleć z czasem? Niech w pewnej chwili czasu t0 bezwymiarowy promień gwiazdy będzie x0 = 1 + Δx0, przy czym |Δx0| « 1. Równanie (eql.23) może być zapisane jako
dx
dt
  = 
dΔx
dt
  = 
4
3τK – Hβ
  [1 – (1 + Δx)ν + 3] ≈ – 
4
3τK – Hβ
  (ν + 3)Δx .
(eql.23)
Równanie to ma rozwiązanie
RMS
R
  = 1 + Δx = 1 + Δx0exp  [ –  (
4(ν + 3)
3τK – Hβ
 )  (t – t0) ] .
(eql.26)
Widzimy zatem, że początkowe zaburzenie Δx0 maleje eksponencjalnie z czasem, czyli model Eddingtona gwiazdy z ciągu głównego jest stabilny termicznie, a charakterystyczną skalą czasową, w której odzyskiwana jest równowaga termiczna, to skala czasowa Kelvina – Helmholtza.



Autor: prof. Bohdan Paczyński

Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski



© "Urania-Postępy Astronomii"
webmaster: Marek Gołębiewski