Spis
treści
Spis
wykładów
|
|
|
|
Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 1.00
|
XVI. Stabilność dynamiczna gwiazd sferycznych.
Rozważymy najpierw gwiazdę sferyczną, będącą w równowadze hydrostatycznej. r0, ρ0 i P0 to odpowiednio promień, gęstość i ciśnienie, o których zakładamy, że są znanymi funkcjami masy cząstkowej, Mr, przy czym 0 < Mr < M, gdzie M jest całkowitą masą gwiazdy. Równowaga hydrostatyczna oznacza, że
Dokonamy teraz homologicznej, adiabatycznej perturbacji, zmieniając promień każdej z powłok masy o ten sam czynnik: r = r0(1 + x), gdzie x jest bardzo małą liczbą, która może zmieniać się w czasie, ale nie w przestrzeni. Warunek zachowania masy wyrażony równaniem (d.1b) żąda, by ρ = ρ0(1 – 3x). Zakładamy, iż zmiana jest adiabatyczna, o stałym wykładniku adiabatycznym γ:
Wynika stąd, iż P = P0(1 – 3γx). Naturalnie, zakładamy że zaburzenia gęstości i ciśnienia są bardzo małe, tj. |(ρ – ρ0) ⁄ρ0| « 1, |(P – P0) ⁄ P0| « 1.
Zaburzone wielkości nie spełniają już równania równowagi hydrostatycznej, ale raczej równanie ruchu:
Ponieważ jedyną zmienną w czasie wielkością jest x, możemy zatem zapisać równanie ruchu w postaci
|
|
= r0 |
|
= – |
|
(1 – 2x) – 4π r02 |
|
(1 + 2x – 3γx) |
. |
| (d.4) |
Zauważmy, że wszystkie wielkości z indeksem „0” spełniają równanie równowagi hydrostatycznej. Dlatego też, łącząc równania (d.1a) i (d.4), otrzymujemy
Czynimy obecnie kolejne grube przybliżenie, kładąc Mr ⁄ r03 ≈ ρav =const i otrzymujemy
|
|
= Gρav(4 – 3γ)x = σ2x |
; |
σ2 ≡ Gρav(4 – 3γ) |
. |
| (d.6) |
Równanie to ma następujące rozwiązanie
Jeśli σ2 < 0, wówczas ruch jest oscylacyjny, czyli gwiazda jest stabilna dynamicznie. Jeśli zaś σ2 > 0, to wtedy mamy rozwiązanie, które wzrasta eksponencjalnie, czyli gwiazda jest niestabilna dynamicznie. Dlatego też, gwiazda jest dynamicznie niestabilna, jeśli γ < 4 ⁄ 3. Otrzymaliśmy ten rezultat w bardzo przybliżony sposób. Odpowiednia analiza prowadzi do wymagania, iż średnia wartość γ wewnątrz gwiazdy musi być mniejsza niż 4 ⁄ 3, aby była ona niestabilna dynamicznie. Niestabilność czy też oscylacje rozwijają się w dynamicznej skali czasu, która jest zdefiniowana jako
| τd ≈ σ – 1 ≈ (Gρav) – 1 ⁄ 2 |
. |
| (d.8) |
Krytyczna wartość wykładnika adiabatycznego, γcr = 4 ⁄ 3, jest konsekwencją zmien-ności siły grawitacyjnej z r – 2. Jeśli przyśpieszenie grawitacyjne było dane jako – GMr ⁄ r2 + α, wówczas wartość krytyczna wynosiłaby γcr = (4 + α) ⁄ 3. Jednym z efektów ogólnej teorii względności jest to, iż grawitacja jest silniejsza niż newtonowska, w pobliżu czarnej dziury. Niemniej jednak, efekt ten występuje nawet wtedy, gdy pole jest słabe. Dla r » rSch ≡ 2GM ⁄ c2 mamy z grubsza, że α ≈ rSch ⁄ r. Oznacza to, że niestabilność dynamiczna może pojawić się wtedy, gdy γ jest bardzo bliska, lecz nieco większa niż 4 ⁄ 3.
Autor: prof. Bohdan Paczyński
Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski
|
|
