Urania-Postępy Astronomii
Wykłady z astrofizyki   
Urania-Postępy Astronomii Urania-Postępy Astronomii


Spis
treści
Spis
wykładów

Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 1.00


XVII. Wiatry sferyczne — sferyczna akrecja.
    O wielu gwiazdach wiadomo, że tracą masę. Wiatr słoneczny unosi około 10-14 MSłońca rok-1 bardzo gorącej plazmy. Tempo to jest znikome. Zaiste, promieniowanie słoneczne unosi 4 × 1033 erg s-1, co zmniejsza masę Słońca o około 10-13 MSłońca rok-1. Jednakże bardzo jasne nadolbrzymy tracą materię w bardzo wysokim tempie, częstokroć w zakresie od 10-6 MSłońca rok-1 do 10-4 MSłońca rok-1 (zob. materiały z sympozjum „Późne stadia ewolucji gwiazd”, która odbyła się w dniach 2-5 czerwca 1986 roku w Calgary w Kanadzie; edytorzy: S. Kwok i S.R. Pottasch, 1987, D. Reidel Publ. Co., Astrophysics and Space Science Library, tom 132). Nadolbrzym o jasności 104 LSłońca musi spalać około 10-7 MSłońcarok-1, by skompensować utratę energii promienistej. W takim przypadku, tempo utraty masy na poziomie przekraczającym 10-7 MSłońcarok-1 jest istotniejsze dla bilansu masy, aniżeli spalanie jądrowe.

    Pomimo powszechnego występowania utraty masy z jasnych gwiazd, brak jest dobrej teorii ilościowej, która mogłaby ją objaśnić. Przyjmuje się, że ciśnienie promieniowania w liniach atmosferycznych, tj. przejściach związano – związanych jest odpowiedzialne za utratę masy z niebieskich nadolbrzymów, podczas gdy ciśnienie promieniowania na pył jest odpowiedzialne za utratę masy w czerwonych nadolbrzymach. Wiatr słoneczny jest wynikiem bardzo wysokiej temperatury korony słonecznej, powyżej 106 K. Rozważymy tutaj dwa bardzo proste modele wypływu masy, z których żaden nie jest bezpośrednio związany z jakimkolwiek realnym i skomplikowanym obiektem. Pomimo ich prostoty, modele te oferują dobry obraz jakościowy charakteru wypływu stacjonarnego.

    Rozważymy sferycznie symetryczny wypływ masy, o prędkości radialnej gazu v ≡ (∂r / ∂t) Mr, będącej funkcją promienia, ale nie czasu. Innymi słowy będziemy rozważać przypadek stacjonarnego, niezależnego od czasu wypływu. Jest to możliwe, gdy ilość materii w dynamicznie istotnym przepływie, jest dużo mniejsza niż ilość materii w obrębie zbiornika, z którego masa wypływa. Typowo, zbiornikiem może być otoczka gwiazdowa, tj. ta część gwiazdy, która może być tracona w konkretnym procesie utraty masy. Założenie warunku stacjonarności ma bardzo dobrze zdefiniowane znaczenie matematyczne. Rozważmy dowolną wielkość fizyczną, powiedzmy q, która w ogólności może być funkcją czasu i promienia. Zawsze możemy zapisać:
( 
∂q
∂t
  )Mr =  ( 
∂q
∂t
  )r +  ( 
∂r
∂t
  )Mr ×  ( 
∂q
∂r
  )t  =  ( 
∂q
∂t
  )r + v  ( 
∂q
∂r
  )t .
(w1.1)
Dla ścisłej stacjonarności mamy (∂q / ∂t)r = 0. W praktyce, zakładamy, że stacjonarność jest, gdy |(∂q / ∂t)r| « |(∂q / ∂t)Mr|. W tym przypadku możemy zapisać relację (w1.1) jako

( 
∂q
∂t
  )Mr = v  ( 
∂q
∂r
  )t  = M z kropką  ( 
∂q
∂Mr
 )t .
(w1.2)
gdzie
M z kropką ≡ 4π r2ρv = const ,
(w1.3)
jest tempem przepływu masy przez powierzchnię sferyczną o promieniu r. W modelu stacjonarnym, tempo to jest stałe w przestrzeni i czasie.

    Są dwa równania struktury gwiazdy, które zawierają pochodne czasowe: równanie ruchu oraz równanie bilansu cieplnego:
(
∂P
∂Mr
 )t = - 
GMr
4π r4
  - 
1
4π r2
  (
∂2r
∂t2
 )Mr ,
(w1.4)
(
∂Lr
∂Mr
 )t = ∈ - T  (
∂S
∂t
 )Mr .
(w1.5)
Równania te mogą być uproszczone w przypadku wypływu stacjonarnego dzięki spostrzeżeniu, iż całkowita ilość masy w obrębie stacjonarnej części przepływu musi być dużo mniejsza, aniżeli całkowita masa gwiazdy, w przeciwnym razie przepływ nie byłby stacjonarny. Zatem, skoro zdecydowaliśmy się badać wypływ stacjonarny, powinniśmy przyjąć Mr = M = const w wyrazie opisującym przyspieszenie grawitacyjne. Także w zewnętrznych częściach gwiazdy brak jest źródeł energii nuklearnej, więc mamy ∈ = 0. Dwie pochodne czasowe mogą być zapisane następująco:
1
4π r2
  (
∂2r
∂t2
 )Mr = 
1
4π r2
  (
∂v
∂t
 )Mr = 
1
4π r2
  M z kropką  (
∂v
∂Mr
 )t = 
v
4π r2
  (
∂v
∂r
 )t ,
(w1.6)
- T  (
∂S
∂t
 )Mr = - T M z kropką  (
∂S
∂Mr
 )t = - 
T
4π r2ρ
  M z kropką  (
∂S
∂r
 )t .
(w1.7)

    Teraz, kiedy zamieniliśmy pochodne czasowe na pochodne przestrzenne, równania struktury gwiazdy stają się równaniami różniczkowymi zwyczajnymi. Możemy je zapisać następująco:
1
ρ
  
∂P
∂r
  = - 
GM
r2
  - v 
dv
dr
  = 
d
dr
  (
GM
r
  - 
v2
2
 ) ,
(w1.8)
dLr
dr
  = - T M z kropką 
dS
dr
  = - M z kropką  (
du
dr
  - 
P
ρ2
  
dρ
dr
 )  = - M z kropką  nawias
d
dr
   ( u + 
P
ρ
 )  - 
1
ρ
  
dP
dr
 nawias .
(w1.9)
Te dwa ostatnie równania można połączyć i otrzymać
d
dr
   nawias Lr + M z kropką  ( u + 
P
ρ
  + 
v2
2
  - 
GM
r
 ) nawias  = 
dE z kropką
dr
  = 0 ,
(w1.10)
gdzie
E z kropką ≡ Lr + M z kropką  ( u + 
P
ρ
  + 
v2
2
  - 
GM
r
 )  = const ,
(w1.11)
jest całkowitą energią unoszoną przez przepływ przez powierzchnię sferyczną o promieniu r.

    Równanie ruchu oraz równanie bilansu cieplnego dało nam zachowanie energii w przepływie stacjonarnym. Razem z zachowaniem masy opisanym równaniem (w1.3), mamy dwa prawa zachowania. Dlatego też potrzebujemy jedynie dwóch równań różniczkowych na opisanie przepływu, mogą to być równanie ruchu (w1.8) oraz równanie równowagi promienistej, która powinna utrzymywać się w optycznie grubej części przepływu:
d(a/3 T4)
dr
  = - 
κρLr
4πcr2
 .
(w1.12)
Te dwa równania różniczkowe, (w1.8) i (w1.12), łącznie z dwoma prawami zachowania, (w1.3) oraz (w1.11), pozwalają obliczyć zmiany T, ρ, Lr oraz v z promieniem r. Oczywiście, muszą być one uzupełnione odpowiednimi warunkami brzegowymi w głębokim wnętrzu oraz na powierzchni gwiazdy. Taki ogólny problem jest trudny do rozwiązania, ponieważ przybliżenie dyfuzyjne dla transportu ciepła, (w1.12), nie jest poprawne dla małej głębokości optycznej, powyżej fotosfery gwiazdy. Normalnie, w gwieździe, która znajduje się w równowadze hydrostatycznej, optycznie cienka atmosfera jest również geometrycznie cienka, a przybliżenie Eddingtona daje rozsądne wyniki. W przypadku wiatru, optycznie cienka atmosfera jest geometrycznie rozciągnięta i nie ma nic tak prostego i tak dobrego, jak przybliżenie Eddingtona.

    Jest jedna ogólna własność modelu wiatru stacjonarnego: w głębokim wnętrzu gwiazdowym, gwiazda powinna być w równowadze hydrostatycznej, tj. powinniśmy mieć v « vs, gdzie vs jest prędkością dźwięku. W dużej odległości od gwiazdy oczekujemy, że przepływ ucieka z potencjału grawitacyjnego, a stąd oczekujemy, że v » vs. Zatem gdzieś pośrodku powinno być przejście od przepływu poddźwiękowego do naddźwiękowego. Okazuje się, że punkt, w którym v = vs jest bardzo specjalny. Jest nazywany punktem dźwiękowym lub punktem krytycznym, a jego istnienie jest wspólną własnością wszystkich modeli wiatru. Wykażemy jego istnienie w następujący sposób. Równanie ruchu (w1.8) może być zapisane jako
1
ρ
  
dP
dr
  = 
1
r
  
dP
dρ
  
d ln ρ
d ln r
  = - 
1
r
  (
GM
r
  + v2 
d ln v
d ln r
 ) ,
(w1.13)
a to daje
d ln ρ
d ln r
  = - 
GM
rvs2
  - 
v2
vs2
  
d ln v
d ln r
 ,
(w1.14)
gdzie prędkość dźwięku jest zdefiniowana jako
vs ≡  (
dP
dρ
 )½ .
(w1.15)
Biorąc pochodną logarytmiczną z równania zachowania masy (w1.3), otrzymujemy
2 + 
d ln ρ
d ln r
  + 
d ln v
d ln r
  = 0 .
(w1.16)
Łącząc równania (w1.14) i (w1.16) znajdujemy
d ln v
d ln r
  = 
(GM)/r - 2vs2
vs2 - v2
  = 
0.5vesc2 - 2vs2
vs2 - v2
 ,
(w1.17)
z warunkiem v « vs dla małych promieni oraz v » vs dla dużych promieni. Zauważmy, że GM / r = 0.5 v2esc, gdzie vesc jest prędkością ucieczki z potencjału grawitacyjnego GM / r.

    W punkcie dźwiękowym mamy v = vs. Rozwiązanie równania różniczkowego (w1.17) może być gładkie w tym punkcie tylko jeśli GM / r = 2 v2s w tym samym punkcie. Jest to warunek nietrywialny przepływu i jest on tak ważny, jak każdy warunek brzegowy w wyznaczaniu jednoznacznego rozwiązania równania różniczkowego. Oczywiście, prawa strona równania (w1.17) będącą typu 0 / 0 w punkcie krytycznym, nie może być obliczona bezpośrednio. Zamiast tego, możemy użyć reguły de l'Hospitala, według której f / g = df / dg jeśli f = 0 i g = 0 jednocześnie. Pamiętając, że w punkcie krytycznym mamy GM / r = 2 v2s = 2 v2, otrzymujemy
d ln v
d ln r
  = 
d/dr [(GM)/r - 2vs2]
d/dr (vs2 - v2)
  =
(w1.18)
- (GM)/r - 4vs2 [(d ln vs)/(d ln r)]
2vs2 [(d ln vs)/(d ln r)] - 2v2 [(d ln v)/(d ln r)]
  = 
- 1 - 2 [(d ln vs)/(d ln r)]
[(d ln vs)/(d ln r)] - [(d ln v)/(d ln r)]
 .
Może to być zapisane jako równanie kwadratowe dla (d ln v / d ln r):
(
d ln v
d ln r
 )2  -  (
d ln vs
d ln r
 )   (
d ln v
d ln r
 )  - 1 - 2  (
d ln vs
d ln r
 )  = 0 .
(w1.19)
Istnieją dwa pierwiastki rzeczywiste tego równania pod warunkiem, że
(
d ln vs
d ln r
 )2  + 8  (
d ln vs
d ln r
 )  + 4 > 0 ,
(w1.20)
Nierówność ta jest spełniona, gdy
(
d ln vs
d ln r
 )  > - 4 + √(12) = - 0.5359 ,
(w1.21a)
lub
(
d ln vs
d ln r
 )  < - 4 - √(12) = - 7.4641 ,
(w1.21b)

    Pochodna logarytmiczna prędkości dźwięku w odniesieniu do promienia, może być wyrażona jako
d ln vs
d ln r
  = 
1
2
  
d ln P
d ln r
  - 
1
2
  
d ln ρ
d ln r
  =
(w1.22)
= 
1
2
  (
d ln P
d ln T
 )ρ
d ln T
d ln r
  - 
1
2
  nawias (
∂ ln P
∂ ln ρ
 )T  - 1 nawias 
d ln ρ
d ln r
 ,

    Wewnętrzny warunek brzegowy wymaga, by model wiatru był w równowadze hydrostatycznej dla małych promieni, tak by mógł byc dopasowany do modelu równowagi hydrostatycznej całej gwiazdy. Są również dwa zewnętrzne warunki brzegowe. Oczekujemy, iż przepływ ekspanduje do pustej przestrzeni, a stąd gęstość i ciśnienie powinny spadać do zera dla bardzo dużych promieni. Do tego, w fotosferze musi być spełniony termiczny warunek brzegowy, tj.
Lr = 4π r2σT4 ,
(w1.23)
dla głębokości optycznej τ ≈ 2/3. Jest to tylko warunek przybliżony, ponieważ przybliżenie Eddingtona nie jest dobre w rozległej atmosferze wiatru, a warunek (w1.23) może być spełniony dla jakiejś innej głębokości optycznej. Ponieważ nasze równanie (w1.12) i oddziaływanie pomiędzy gazem a promieniowaniem staje się skomplikowane na małej głębokości optycznej, nie ma prostego i dokładnego sposobu na sformułowanie termicznego zewnętrznego warunku brzegowego.

    Rozważmy teraz bardzo prosty model wiatru izotermicznego. Model jest tak prosty, że powinniśmy znaleźć rozwiązanie analityczne dla przepływu. W tym samym czasie model izotermiczny utrzymuje wszystkie najważniejsze charakterystyki ogólnego, stacjonarnego wypływu. Dla przepływu izotermicznego mamy
vs2 =  (
dP
dρ
 )T  = 
kT
μH
  = const .
(w1.24)
Zdefiniujmy bezwymiarowy promień x oraz bezwymiarową prędkość u:
x ≡ 
r
rc
 ,       u ≡ 
v
vs
 ,
(w1.25)
gdzie rc jest promieniem krytycznym, w którym prędkość wypływu jest równa prędkości dźwięku. Zgodnie z równaniem (w1.17) odpowiada to
rc = 
GM
2vs2
  = 
GMμH
2kT
 .
(w1.26)
Równanie (w1.17) może być zapisane w jednostkach bezwymiarowych jako
d ln u
d ln x
  = 
2/x - 2
1 - u2
 .
(w1.27)
Zmienne w równaniu (w1.27) mogą być rozdzielone:
(
1
u
  - u )  du = 2  (
1
x2
  - 
1
x
 )  dx ,
(w1.28)
a równanie (w1.28) można scałkować uzyskując
ln u - 
u2
2
  = - 
2
x
  - 2ln x + C ,
(w1.29)
gdzie C jest stałą całkowania. By rozwiązanie przechodziło przez punkt krytyczny, potrzebujemy C = 1.5. W ogólności mamy całą rodzinę rozwiązań odpowiadającym różnym wartościom stałej C. Są dwa rozwiązania krytyczne, krzyżujące się w punkcie krytycznym. Rozwiązanie spełniające warunek brzegowy wiatru odpowiada przepływowi poddźwiękowemu dla x < 1 (czyli dla małych promieni) oraz przepływowi naddźwiękowemu dla x > 1 (czyli dla dużych promieni).


   1. Akrecja sferyczna
    Możemy rozważyć problem przeciwny do wypływu wiatru, a jest nim akrecja materii na gwiazdę. W tym przypadku potrzebujemy jakiegoś ośrodka o skończonej gęstości w dużych odległościach, stopniowo opadającego na gwiazdę. Skierowany do wnętrza przepływ będzie poddźwiękowy dla bardzo wielkich promieni i stanie się naddźwiękowym spadkiem swobodnym dla małych promieni. Równania są takie same jak dla wypływu wiatru, jedynie kierunek przepływu jest odwrócony. W przepływie akrecyjnym również jest punkt krytyczny, gdzię prędkość spadku jest równa prędkości dźwięku.

    Jeśli akreującym obiektem jest czarna dziura, która nie posiada twardej powierzchni, akrecyjny przepływ ponaddźwiękowy może mieć miejsce bezpośrednio do czarnej dziury. Oczywiście odpowiednie równania ruchu muszą być relatywistyczne, lecz nie zmienia to topologii rozwiązań. Jednakże, jeśli akreująca gwiazda ma powierzchnię, przepływ naddźwiękowy musi być zatrzymany w pewnym punkcie, a spadająca materia musi się zatrzymać. Tworzy się fala uderzeniowa w odległości mniejszej niż promień krytyczny, a prędkość spadku jest zredukowana z naddźwiękowej do poddźwiękowej. W przypadku stacjonarnego przepływu akrecyjnego poniżej fali uderzeniowej, spadająca materia dochodzi osiąga równowagę hydrostatyczną i łączy się z gwiazdą.



Autor: prof. Bohdan Paczyński

Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski



© "Urania-Postępy Astronomii"
webmaster: Marek Gołębiewski