Spis
treści
Spis
wykładów
|
|
|
|
Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 1.00
|
XIX. Związek masa – jasność dla gwiazd masywnych.
W obrębie modelu Eddingtona β ≡ Pg ⁄ P = const, sama gwiazda zaś jest politropą o n = 3. Gwiazdy o wielkiej masie mają małe β, są więc zdominowane przez ciśnienie promieniowania, natomiast nieprzezroczystość w nich jest zdominowana przez rozpraszanie na elektronach. Rozważmy zewnętrzną część takiej gwiazdy zakładając, że jest ona w równowadze promienistej. Mamy równanie równowagi hydrostatycznej:
oraz równanie równowagi promienistej
Dzieląc te równania stronami, otrzymamy
W pobliżu powierzchni gwiazdy mamy Mr ≈ M oraz Lr ≈ L, a przyjmując κ ≈ κe = const, możemy scałkować równanie (s2.3) i otrzymać
gdzie Pr,0 = P0 = aTeff4 ⁄ 6 jest ciśnieniem promieniowania na powierzchni, czyli dla τ = 0, gdzie ciśnienie gazu Pg = 0. Na umiarkowanej głębokości poniżej powierzchni gwiazdy, ciśnienie to jest dużo większe, aniżeli P0, możemy zatem zaniedbać stałe całkowania w (s2.4) i uzyskać
| 1 – β = |
|
= |
|
= |
|
= |
|
|
M |
|
| L |
|
|
|
, |
| (s2.5) |
gdzie LEdd jest jasnością Eddingtona.
Równanie (s2.5) daje zależność pomiędzy masą gwiazdy, jej jasnością (luminosity) oraz β. Model Eddingtona podaje związek pomiędzy masą gwiazdy a β:
| M |
|
| M |
|
= |
|
|
|
, |
| (s2.6) |
gdzie μ jest średnim ciężarem molekularnym wyrażonym w jednostkach masy atomu wodoru, μ-1 = 2X + 0.75Y + 0.5Z, a X, Y, Z są obfitościami w sensie ułamka masy, odpowiednio wodoru, helu i ciężkich pierwiastków. Łącząc równania (s2.5) i (s2.6), otrzymujemy związek masa – jasność
| M |
|
| M |
|
= |
|
|
| (L ⁄ LEdd)1 ⁄ 2 |
|
| (1 – L ⁄ LEdd)2 |
|
, |
LEdd ≡ |
|
. |
| (s2.7) |
Dla bardzo masywnych gwiazd, mamy stąd przybliżony związek
| L ≈ LEdd = |
| 65300L |
|
| (1 + X)M |
|
, |
M » 100M |
. |
| (s2.8) |
Dla mniej masywnych gwiazd L « LEdd i (s2.7) daje
| L ≈ LEddμ4 |
 |
| M |
|
| 18.1M |
|
 2 |
≈ 30L |
|
| M |
|
| M |
|
3 |
, |
X = 0.7, Z = 0.02 |
. |
| (s2.9) |
Godnym uwagi jest fakt, iż związek masa – jasność uzyskaliśmy bez jakiegokolwiek odniesienia do źródeł energii gwiazdy. Można to zrozumieć następująco. W obrębie naszego przybliżenia, nieprzezroczystość materii jest stała (na jednostkę masy), fotony rozpraszają się w takim tempie, jakim mogą, co jest niezależne od temperatury lub gęstości gwiazdy. Tak więc utrata ciepła jest ustalona przez stałą nieprzezroczystość. Jeśli brak jest jądrowych źródeł energii, to gwiazda będzie traciła energię i będzie musiała ulegać kontrakcji, aby „wpompować” nieco energii grawitacyjnej do energii termicznej. Temperatura zapadającej się gwiazdy wzrasta i w pewnym punkcie, ciepło uwolnione w reakcjach jądrowych może zbilansować promieniste utraty ciepła. Jeśli to zachodzi, wówczas kontrakcja zatrzymuje się, a gwiazda wypromieniowuje energię wytworzoną w spalaniu jądrowym. Kiedykolwiek paliwo nuklearne jest wyczerpane, zawsze obecne utraty ciepła będą wymuszać dalszą kontrakcję gwiazdy. Dlatego też, to promień gwiazdy zależy od obecności lub braku spalania jądrowego, podczas gdy jasność jest kontrolowana przez nieprzezroczystość.
Zauważmy, iż jasność zależy od składu chemicznego nie tylko poprzez nieprzezroczys-tość, ale również poprzez równanie równowagi hydrostatycznej. Uwidacznia się to w równaniu (s2.9) poprzez wyraz μ4. Im większy jest średni ciężar molekularny, tym większa jest jasność. Ma to swoje paradoksalne konsekwencje. Wyobraźmy sobie gwiazdę ciągu głównego, tj. taką, która spala wodór w tempie wymaganym do zbilansowania promienistej utraty ciepła. Stosownie do równania (s2.9), jasność zależy od składu chemicznego następująco
| L ~ |
|
= (1 + X) – 1 (2X + 0.75Y + 0.5Z) – 4 ~ X – 2.6 |
dla |
X ≈ 0.7 |
, |
| (s2.10) |
tj. im mniej ma wodoru, tym jaśniejsza jest gwiazda paląca wodór!
W gwiazdach, które nie są zdominowane przez ciśnienie promieniowania, znajdują się inne źródła nieprzezroczystości, które przewyższają rozpraszanie na elektronach. Jeśli nieprzezroczystość jest zwiększona, wówczas tempo dyfuzji fotonów jest zredukowane i tym samym zmniejszona jest również jasność gwiazdy. Z tego powodu, związek masa – jasność (równania s2.7, s2.8 i s2.9) daje górną granicę jasności gwiazd, przybliżonych przez model Eddingtona.
Gwiazda opisana modelem Eddingtona jest politropą o n = 3 i dlatego też jej centralna gęstość jest związana ze średnią gęstością poprzez
| ρc = 54.18 × ρav = 54.18 |
|
= 12.93 |
|
. |
| (s2.11) |
Ciśnienie centralne jest dane jako
Ciśnienie gazu w centrum wynosi Pg = βPc = (k ⁄ μH)ρcTc. Dlatego też
Autor: prof. Bohdan Paczyński
Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski
|
|
