Urania-Postępy Astronomii
Wykłady z astrofizyki   
Urania-Postępy Astronomii Urania-Postępy Astronomii


Spis
treści
Spis
wykładów

Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 2.00


II. Równania struktury gwiazd.
    1. Ogólne równania.
    Rozważmy sferycznie symetryczną, samograwitującą gwiazdę. Wszystkie wielkości fizyczne będą zależały od dwóch zmiennych niezależnych: promienia i czasu, (r, t). Po pierwsze, wyprowadzimy wszystkie równania struktury gwiazdy w ogólnym, niesferycznym przypadku, lecz bardzo szybko ograniczymy się do przypadku sferycznie symetrycznego.

    Właściwości mikroskopowe materii w dowolnym punkcie mogą być opisane przez gęstość, ρ, temperaturę T i skład chemiczny, tj. obfitości różnych pierwiastków Xi, gdzie i = 1,2,3… ma tyle wartości, ile jest pierwiastków. Wszystkie własności termodynamiczne i współczynniki transportu są funkcjami (ρ, T, Xi). W szczególności mamy: ciśnienie P(ρ, T, Xi), energię wewnętrzną na jednostkę objętości U(ρ, T, Xi), entropię na jednostkę masy S(ρ, T, Xi), współczynnik przewodnictwa cieplnego na jednostkę objętości λ(ρ, T, Xi) oraz źródło ciepła lub pochłanianie ciepła na jednostkę masy ∈(ρ, T, Xi). Wszystkie pochodne cząstkowe P, U, λ oraz ∈ również są funkcjami ρ, T oraz Xi. Korzystając z tych wielkości, pierwsza zasada termodynamiki może być zapisana jako
TdS = d (
U
ρ
 )  - 
P
ρ2
  dρ,
(1.1)
Jeśli są źródła ciepła, ∈, oraz nieznikający strumień ciepła wektor F, wówczas równanie bilansu cieplnego może być zapisane jako
ρT 
dS
dt
  = ρ∈ - divwektor F. równanie zachowania
energii
(1.2)
Strumień cieplny jest wprost proporcjonalny do gradientu temperatury:
wektor F = - λnablaT. proces dyfuzyjny
(1.3)
Równanie ruchu (równanie hydrodynamiki Naviera–Stockes'a) może być zapisane jako
d2wektor r
dt2
  + 
1
ρ
nablaP + nablaV = 0,
(1.4)
gdzie potencjał grawitacyjny spełnia równanie Poissona
nabla2V = 4πGρ,
(1.5)
z V → 0 gdy r → ∞.

    W przypadku sferycznie symetrycznym, równania te mogą być zapisane jako
1
ρ
  
∂P
∂r
  + 
∂V
∂r
  + 
d2r
dt2
 = 0,
(1.6a)
1
r2
  
∂
∂r
 nawias r2 
∂V
∂r
 nawias  = 4πGρ,
(1.6b)
F = - λ 
∂T
∂r
  ,
(1.6c)
1
ρr2
 nawias  
∂(r2F)
∂r
 nawias  = ∈ - T 
dS
dt
 ,
(1.6d)
Wygodnie jest wprowadzić nową zmienną, Mr
Mr ≡ 
r
∫
0
 4π r'2ρdr' ,
(1.7)
która jest całkowitą masą zawartą wewnątrz promienia r, oraz inną zmienną, Lr:
Lr ≡ 4π r2F ,
(1.8)
czyli moc promieniowania (luminosity), tj. całkowity strumień ciepła przepływający przez sferyczną powłokę o promieniu r, jak również
κ = 
4acT3
3ρ
  
1
λ
  ,
(1.9)
gdzie κ jest współczynnikiem nieprzezroczystości promienistej (na jednostkę masy), c jest prędkością światła, natomiast a — stałą promieniowania.
! Ostatnie równanie jest poprawne, jeśli transport ciepła jest spowodowany promieniowaniem.

    Wykorzystując definicje i zależności (1.7 – 1.9), możemy przepisać zbiór równań (1.6) w bardziej standardowej postaci:




Ten system równań jest zapisany w nieco niewygodny sposób, ponieważ wszystkie pochodne przestrzenne (∂ / ∂r) są brane w ustalonej chwili czasu, podczas gdy wszystkie pochodne czasowe są dla ustalonych stref masy. Z tego powodu, jak i z racji sposobu, w jaki specyfikowane są warunki brzegowe (wkrótce je zobaczymy), wygodnie jest używać masy Mr raczej, aniżeli promienia r jako przestrzenno-podobną zmienną niezależną. Zatem, zamieniamy wszystkie pochodne ∂ / ∂r przez 4π r2ρ∂ / ∂Mr i otrzymujemy




    Zbiór równań (1.11) opisuje ewolucję czasową sferycznie symetrycznej gwiazdy o danym rozkładzie składu chemicznego z masą, Xi(Mr), przy założeniu, że określone są warunki początkowe oraz warunki brzegowe. Jeśli pochodna czasowa w równaniu (1.11a) znika, wówczas gwiazda jest w równowadze hydrostatycznej. Jeśli znika pochodna czasowa w równaniu (1.11d), to gwiazda jest w równowadze termicznej.
! Zauważmy, iż zawsze zakładamy, że w gwieździe materia i promieniowanie są w lokalnej równowadze termodynamicznej, LTE, bez względu na to czy gwiazda jako całość jest w równowadze hydrostatycznej czy termicznej. Od teraz będziemy rozważać gwiazdy, które są w równowadze hydrostatycznej, tj. będziemy zakładać, że pochodna czasowa w równaniu (1.11a) jest zaniedbywalnie mała.


   2. Warunki brzegowe.
    Rozważmy teraz warunki brzegowe. W centrum gwiazdy masa Mr, promień r oraz moc promieniowania Lr, znikają. Zatem, mamy wewnętrzne warunki brzegowe
r = 0,      Lr = 0,        dla Mr = 0.
(1.12)

    W większości przypadków będziemy zainteresowani strukturą i ewolucją gwiazdy o ustalonej masie całkowitej M. Na powierzchni, gdzie Mr = M, gęstość spada do zera, a temperatura spada do wartości, która jest związana z promieniem gwiazdy i jej moc promieniowania. Właściwe zewnętrzne warunki brzegowe wymagają raczej skomplikowanych obliczeń modelowej atmosfery gwiazdowej. Przyjmiemy bardzo prosty model atmosfery w obrębie przybliżenia Eddingtona, które oznacza, że powinniśmy wykorzystać przybliżenie dyfuzyjne do obliczenia gradientu temperatury nie tylko dla wielkiej głebokości optycznej, ale również dla małej głębokości optycznej. Przybliżenie Eddingtona oznacza również, że temperatura powierzchniowa jest 21 / 4 ≈ 1.189 razy niższa niż temperatura efektywna. Zewnętrzne warunki brzegowe to
ρ = 0,     T = To =  nawias
L
8π R2σ
 nawias¼         dla Mr = M,
(1.13)
L = 4π R2σTeff4,   Teff4 = 2To4     
gdzie σ jest stałą Stefana-Boltzmana. Zauważmy, że tzw. temperatura efektywna gwiazdy jest zdefiniowana jako
Teff ≡  nawias
L
4π R2σ
 nawias¼  = 2¼ To.
(1.14)

    W centrum gwiazdy mamy dwa dopasowywalne (adjustable) parametry: gęstość centralną ρc oraz temperaturę centralną Tc. Na powierzchni gwiazdy są dalsze dwa dopasowywalne parametry: promień gwiazdy R oraz moc promieniowania L gwiazdy. Te cztery parametry mogą być obliczone, gdy są rozwiązane równania różniczkowe budowy gwiazdy. Zauważmy, że jedynie dwa z tych parametrów, R i L są bezpośrednio obserwowalne. Zauważmy również, iż równania dla gwiazdy sferycznie symetrycznej (10 lub 11) mogą być wyprowadzone bez rozważania przypadku ogólnego, lecz startując z prostą geometrią cienkich, sferycznie symetrycznych powłok i bilansując masę, pęd i energię w takich powłokach.


   3. Równania uproszczone.
    Weźmy teraz pod uwagę nawet prostszy przypadek: gwiazdę, którą można opisać równaniami, w których wszystkie pochodne czasowe mogą być pominięte, tj. gwiazdę będącą w równowadze hydrostatycznej i termicznej. Teraz, kiedy nie mamy zależności czasowej, struktura gwiazdy zależy jedynie od jednej przestrzenno-podobnej zmiennej, jako którą możemy obrać promień r, lub masę Mr. Mamy teraz cztery zwyczajne równania różniczkowe:




Muszą być one uzupełnione warunkami brzegowymi (1.12) i (1.13), jak również całkowitą masą gwiazdy M oraz rozkładem wszystkich pierwiastków w funkcji masy, Xi(Mr). Mamy cztery zwyczajne równania różniczkowe, cztery warunki brzegowe i cztery parametry do znalezienia: Tc, ρc, R oraz L.
!     Wydawać by się mogło, że problem opisany równaniami (1.12), (1.13), (1.15) ma jednoznaczne rozwiązanie. W rzeczy samej, orzeka tak tzw. twierdzenie Vogta–Russell'a. Jednakże, nie jest to prawdą. Kontrprzykłady zostały znalezione najpierw numerycznie, a dopiero później astronomowie zauważyli, że nie ma matematycznej podstawy dla „twierdzenia” Vogta–Russell'a. Problemy o podanych wartościach początkowych zazwyczaj mają jednoznaczne rozwiązanie. Jednakże, jeśli warunki brzegowe są określone w dwóch różnych miejscach, w naszym przypadku w centrum gwiazdy i na jej powierzchni, wówczas może nie być rozwiązań, lub też w ogólności może być ich wiele. Znajdziemy później parę przykładów. Niemniej jednak, „twierdzenie” Vogta–Russell'a było użyteczne, gdyż wyjaśniło„” naturę ciągu głównego, liniową sekwencję modeli gwiazd z całkowitą masą gwiazdy będącą parametrem, który zmienia się wzdłuż tego ciągu.
Współczesne numeryczne modele gwiazdowe pokazują, że w przypadku tym rzeczywiście istnieje jednoznaczne rozwiązanie dla wielkiego zakresu mas gwiazd, będących jednorodnymi chemicznie, z mocą promieniowania generowaną przez jądrowe „spalanie” wodoru w hel.


Twierdzenie Vogta–Russell'a:
1)  każdej konfiguracji o danym składzie chemicznym i danej masie odpowiada jeden ściśle określony punkt na diagramie H–R, przy czym różnym masom odpowiadają różne punkty
2)  z materii o danej masie i ustalonym składzie chemicznym można zbudować tylko jedną trwałą gwiazdę




   4. Komplikacje.
    Fakt, iż gwiazdy są jasne, tj. wypromieniowują pewną energię implikuje, że muszą się zmieniać w czasie. I rzeczywiście wiadomo, że głównym źródłem energii gwiazd są reakcje jądrowe, które dostarczają ciepło, jak również zmieniają skład chemiczny. Zatem, nasze równania struktury gwiazdowej są niekompletne. Muszą one być uzupełnione zbiorem równań opisujących sieć reakcji jądrowych, tj. podających ∂Xi ⁄∂t jako funkcję ρ, T, Xj. Wprowadzi to nową zależność czasową z towarzyszącą jej jądrową skalą czasu.

    Jest jeszcze inny problem z naszymi równaniami. Jak dotąd zakładaliśmy, że ciepło wypływa z gwiazdy w wyniku jakiegoś procesu dyfuzyjnego, jak to zostało opisane pierwotnym równaniem (1.3). Jednakże może być tak, że proces ten jest niestabilny. Zaiste wiadomo, że jest on niestabilny ze względu na konwekcję, kiedykolwiek gradient temperatury staje się zbyt stromy. Jak tylko pojawia się konwekcja, przenosi część strumienia ciepła, a gradient temperatury zostaje zmodyfikowany. Okazuje się, że w głębokim wnętrzu gwiazdy konwekcja, jeśli jest obecna, sprowadza temperaturę do wartości adiabatycznej. Jednakże w pobliżu powierzchni gwiazdy konwekcja nie jest zbyt efektywna w przenoszeniu ciepła i brak jest dobrej teorii, pozwalającej obliczyć jej wydajność. W większości praktycznych zastosowań astronomowie używają tzw. „teorii drogi mieszania”, która parametryzuje nasz brak wiedzy o konwekcji jednym parametrem α, który jest równy stosunkowi charakterystycznej „drogi mieszania” do ciśnieniowej skali wysokości i zazwyczaj jest rzędu jedności.

    Oprócz przenoszenia ciepła, konwekcja miesza różne gwiezdne warstwy, o możliwie różńym składzie chemicznym. W rezultacie skład chemiczny może się zmieniać nie tylko z powodu reakcji jądrowych, ale także z powodu mieszania konwektywnego. Ponieważ mieszanie nie jest zjawiskiem lokalnym, rozwiązanie pełnych równań struktury gwiazdowej staje się dużo bardziej skomplikowane.

    Jeszcze jednym procesem fizycznym, który jest ważny w niektórych gwiazdach, jest dyfuzja pierwiastków o różnej średniej wadze molekularnej, lub różnym stosunku ładunku elektrycznego do masy, lub różnym przekroju czynnym na oddziaływanie z promieniowaniem. W pewnych przypadkach proces ten może powodować chemiczną niejednorodność z ważnymi konsekwencjami dla wyglądu gwiazdy i/lub jej ewolucji.

    Mogą być jeszcze inne procesy prowadzące do pewnego mieszania, nieistotne jako mechanizmy transportu energii, które wszelako mogą być ważne dla dystrybucji składu chemicznego. Może to być cyrkulacja południkowa wywołana bardzo gwałtowną rotacją gwiazdy, lub też jakieś słabo rozumiane niestabilności.

    W pewnych przypadkach przepływ ciepła jest nielokalny. Wiadomo, że ma to miejsce w rozległych atmosferach gwiazdowych, z powodu dużej średniej drogi swobodnej fotonów oraz w gorących gwiazdach neutronowych i wnętrzach supernowych II typu, gdzie średnia droga swobodna neutrin jest wielka.


   5. Równania do całkowania numerycznego.
    W ogólności gradient temperatury jest określony przez dyfuzję ciepła i konwekcję, jeśli dana warstwa w gwieździe jest konwektywnie niestabilna. Standardowe kryterium Schwarzschilda stabilności, to:
nablarad< nablaad stabilne konwekcyjnie,
(1.16a)
nablarad> nablaad niestabilne konwekcyjnie.
(1.16b)
gdzie:
nablarad ≡ 
κLr
16πcGMr
  
3P
aT4
 ,
(1.17a)
nablaad ≡  (
∂ ln T
∂ ln P
 )S
(1.17b)
Gradient temperatury może być obliczony jako

nablaT = nablarad     gdy     nablarad < nablaad,
(1.18a)
nablaT = nablaconv     gdy     nablarad > nablaad,
(1.18b)
nablarad > nablaconv> nablaad.
(1.18c)
Zwyczajowy sposób obliczenia konwektywnego gradientu temperatury polega na wykorzystaniu tzw. teorii drogi mieszania, która daje przepis jak interpolować nablaconv pomiędzy nablarad a nablaad.

    Ponieważ wiele wielkości fizycznych jest wyrażonych w jednostkach gęstości i temperatury, wygodnie jest wziąć temperaturę i gęstość jako dwie wielkości do scałkowania. Wszystkie zapisane dotąd równania mają explicite pochodne ciśnienia i temperatury. Musimy zmienić je na pochodne temperatury i gęstości. Zawsze możemy napisać:
d ln P =  (
∂ ln P
∂ ln ρ
 )T d ln ρ +  (
∂ ln P
∂ ln T
 )ρ d ln T,
(1.19a)
nablaρ ≡ 
d ln ρ
d ln P
  =  [ 1 -  (
∂ ln P
∂ ln T
 )ρ nablaT ]   ⁄   (
∂ ln P
∂ ln ρ
 )T .
(1.19b)
Teraz możemy zapisać nasze cztery równania jako
dT
dMr
  = 
T
P
  nablaT 
dP
dMr
 ,
(1.20a)
dρ
dMr
  = 
ρ
P
  nablaρ 
dP
dMr
 ,
(1.20b)
dr
dMr
  = 
1
4π r2ρ
 ,
(1.20c)
dLr
dMr
  = ∈,
(1.20d)
gdzie
dP
dMr
  = - 
GMr
4π r2
 .
(1.20e)

    Do faktycznego całkowania numerycznego robimy jedno więcej przybliżenie i jeszcze jedną zmianę w równaniach. Po pierwsze, aby uprościć program zakładamy, że gradient konwektywny jest zawsze równy gradientowi adiabatycznemu. Jest to bardzo dobre przybliżenie da gwiazd karłowatych, niezbyt dobre dla Słońca i bardzo kiepskie dla czerwonych olbrzymów. Wygodnie jest także stosować jednostki słoneczne dla masy, mocy promieniowania i promienia. Zdefiniujmy:
Mr* ≡ Mr / MSłońca ,
(1.21a)
Lr* ≡ Lr / LSłońca ,
(1.21b)
r* ≡ r / RSłońca .
(1.21c)
Ostateczne równania przyjmują postać:
dT
dMr*
  = 
T
P
  nablaT 
dP
dMr*
 ,
(1.22a)
dρ
dMr*
  = 
ρ
P
  nablaρ 
dP
dMr*
 ,
(1.22b)
dr*
dMr*
  =  (
MSłońca
4π RSłońca3
 ) 
1
r*2ρ
 ,
(1.22c)
dLr*
dMr*
  = 
MSłońca
LSłońca
  ∈,
(1.22d)
gdzie
dP
dMr*
  = -  (
GMSłońca2
4π RSłońca4
 )  
Mr*
r*4,
(1.23a)
nablaT = - min ( nablarad, nablaad ),
(1.23b)
nablarad =  (
LSłońca
16π cGMSłońca
 )  
κLr*
Mr*
  
P
Prad
 ,
(1.23c)
Prad = 
a
3
  T4,
(1.23d)
nablaad =  (
d ln T
d ln P
 )S ,
(1.23e)
nablaρ =  [ 1 -  (
∂ ln P
∂ ln T
 )ρ nablaT ]   ⁄   (
∂ ln P
∂ ln ρ
 )T ,
(1.23f)
a wszystkie wielkości: P, (∂ ln P / ∂ ln T)ρ, (∂ ln P / ∂ ln ρ)T, nablaad, κ, ∈ są znanymi funkcjami temperatury, gęstości i składu chemicznego. W programach komputerowych, są one obliczane odpowiednio przez funkcje „state”, „opact” i „nburn”.

    Warunki brzegowe to:
    na powierzchni, gdzie Mr* = M* mamy:
ρ = 10 - 12,      T = 2 - 1 / 4Teff,        R* = (TSłońca eff2)L*1 / 2Teff- 2,
(1.24a)
    a w centrum, gdzie Mr* = 0 mamy
r* = 0,      Lr* = 0.
(1.24b)
Parametry, które możemy dopasować, to temperatura efektywna, powierzchniowa moc promieniowania, temperatura centralna oraz gęstość centralna lub logarytmy tychże wielkości.

Autor: prof. Bohdan Paczyński

Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski



© "Urania-Postępy Astronomii"
webmaster: Marek Gołębiewski