Spis
treści
Spis
wykładów
|
|
|
|
Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 1.00
|
XXI. Stabilność termiczna gwiazd małomasywnych.
Weźmy pod uwagę gwiazdę w równowadze hydrostatycznej, tj. mamy d2r ⁄ dt2 = 0. Niech gwiazda będzie także w równowadze termicznej, czyli dS ⁄ dt = 0. Dokonamy teraz perturbacji, która jest tak powolna, iż nie zaburza ona równowagi hydrostatycznej, ale zaburza termiczną, czyli teraz dS ⁄ dt ≠ 0. Pytanie jest następujące: czy perturbacja ta będzie się rozwijać, czy też zanikać? Jeśli będzie się ona rozwijać, to znaczy, że gwiazda jest niestabilna termicznie. Jeśli natomiast będzie zanikać, wówczas gwiazda jest termicznie stabilna wobec tego szczególnego zaburzenia. Może być oczywiście wiele innych zaburzeń, dlatego też pełna analiza jest bardzo skomplikowana. Jednakże analiza termicznej stabilności jest bardzo prosta dla gwiazd z dolnej części ciągu głównego, jako że są one w pełni konwektywne, tj. entropia właściwa jest taka sama w całej gwieździe. Oznacza to, iż jasność grawitacyjna Lg (por. uwagi w rozdziale „Gwiazdy w równowadze hydrostatycznej (stabilność termiczna)”) może być zapisana jako
| Lg ≡ |
|
T |
 |
|
Mr |
|
dMr = – |
|
|
|
TdMr |
. |
| (ts.1) |
Jasność jądrowa Ln jest dana jako
natomiast jasność powierzchniowa, to
Model będący w równowadze termicznej spełnia równanie:
| L = Ln + Lg |
, |
Lg = 0 |
, |
(równowaga termiczna) |
, |
| (ts.4) |
podczas gdy w modelu zaburzonym, mamy
| δL = δLn + δLg |
, |
lub |
|
= |
|
+ |
|
. |
| (ts.5) |
Ważnym uproszczeniem w przypadku gwiazdy małomasywnej jest wydajna konwekcja, która wymusza, by wnętrze było izoentropiczne. Jakakolwiek zmiana entropii w jednej części gwiazdy jest redystrybuowana na jej całość w skali czasowej jedynie nieco dłuższej, aniżeli dynamiczna, tj. o wiele krócej od całkowitej termicznej skali czasu. Wynika stąd, iż we w pełni konwekcyjnej gwieździe jest tylko jeden mod termiczny, który zmienia entropię właściwą w sposób jednolity. Dlatego też, aby stwierdzić, czy dana gwiazda jest termicznie stabilna lub niestabilna, musimy przeanalizować tylko ten jeden mod. Zaburzone jasności spełniają równania
Gwiazda dolnego ciągu głównego może być uważana za politropę o indeksie n = 1.5 (por. notatki nt. „Gwiazd małomasywnych”). Pominiemy degenerację elektronów i przyjmiemy proste równanie stanu, by uczynić naszą analizę możliwie najprostszą:
| P = |
|
ρT |
, |
u = 1.5 |
|
T |
, |
dS = 1.5 |
|
|
|
d lnT – |
|
d lnρ |
|
. |
| (ts.9) |
Wykorzystamy również prostą formułę na tempo wytwarzania ciepła w reakcji proton – proton:
| ∈n = ∈0ρTν |
, |
|
= |
|
+ ν |
|
, |
ν ≈ 5 |
. |
| (ts.10) |
Zaburzona termicznie gwiazda politropowa pozostaje politropową, a jedynie gęstość i temperatura w konwekcyjnym wnętrzu zmienia się zgodnie z
Zauważmy, że zaburzenie temperatury opisane równaniem (ts.12) nie wpływa na Teff, gdyż ta jest rządzona przez zewnętrzny warunek brzegowy, tj. modelową atmosferę, która nie jest częścią politropowego wnętrza gwiazdowego. Łącząc równania (ts.9) i (ts.12), otrzymujemy dla zmiany entropii
| δS = 1.5 |
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
= 1.5 |
|
|
|
. |
| (ts.12) |
Dla niezdegenerowanej gwiazdy politropowej (n = 1.5), mamy również
| 1.5 |
|
|
TdMr = |
|
udMr = Eth = – |
|
Ω = |
|
|
|
, |
| (ts.14) |
(por. uwagi w rozdziale „Gwiazdy w równowadze hydrostatycznej (stabilność ter-miczna)” oraz „Politropy”). Łącząc równania (ts.8), (ts.13) i (ts.14) otrzymujemy
Zauważmy, iż wynik wyrażony równaniem (ts.15) mógł być otrzymany bezpośrednio z równania (eql.15) w rozdziale „Gwiazdy w równowadze hydrostatycznej (stabilność termiczna)” dla jakiejkolwiek gwiazdy podtrzymywanej ciśnieniem gazu nierelatywis-tycznego. W szczególności, równanie (ts.15) jest poprawne nawet wtedy, gdy gaz elektronowy jest częściowo lub całkowicie zdegenerowany. Tak długo, jak gaz ten jest nierelatywistyczny, tj. dopóki gwiazda ma małą masę.
Poszukiwać będziemy zmienności czasowej typu eσt, gdzie σ jest wartością własną zagadnienia. Dla δR ~ eσt mamy
Łącząc równania (ts.15) i (ts.16), dostajemy
Łącząc równania (ts.7), (ts.11) i (ts.12) znajdujemy
| δLn = |
|
|
ν |
|
+ |
|
|
∈ndMr = |
| (ts.18) |
| = – (ν + 3) |
|
|
∈ndMr = – (ν + 3) Ln |
|
= – (ν + 3) L |
|
, |
| |
ponieważ w modelu równowagowym Ln = L (zob. równanie (ts.4)).
Gwiazdy z niższej części ciągu głównego są na linii Hayashiego (tj. są w pełni konwektywne), a ich temperatury efektywne są niemal stałe (było to umotywowane w rozdziale „Granica Hayashiego”). Na potrzeby niniejszej analizy przyjmiemy δTeff = 0, co daje (por. równanie (ts.6))
Tym samym wyraziliśmy wszystkie zaburzenia w jednostkach δR ⁄ R. Łącząc równania (ts.5), (ts.17), (ts.18) i (ts.19), znajdujemy
Mając δR ⁄ R w każdym wyrazie równania (ts.20), możemy dla σ otrzymać wartość
Wartość własna σ jest ujemna, czyli model jest stabilny termicznie.
Rozważmy teraz jeszcze mniej masywne gwiazdy, w których gaz elektronowy może być częściowo zdegenerowany, ale nierelatywistyczny. Gwiazdy takie są wciąż w pełni konwektywne i dobrze opisane przez politropę o n = 1.5, lecz temperatura centralna nie jest już proporcjonalna do R – 1. Natomiast, zgodnie z równaniem (lms.7) (zob. „Gwiazdy małomasywne”), mamy
| Tc = 0.539 |
|
|
|
|
 |
1 – |
|
|
2 |
![]](pics/nawias_kw_math-p.gif) 1 ⁄ 2 |
, |
Rmin = |
|
. |
| (ts.22) |
W następnym kroku rozpatrzymy różnice w gęstości i temperaturze pomiędzy gwiazdami o nieco różnych masach i promieniach. Mamy
|
|
= |
|
= |
| 1 – 2 ⁄ 3(Rmin ⁄ R)2 |
|
| 1 – (Rmin ⁄ R)2 |
|
|
|
+ |
| 2(Rmin ⁄ R)2 – 1 |
|
| 1 – (Rmin ⁄ R)2 |
|
|
|
. |
| (ts.24) |
Weźmiemy najpierw pod uwagę sekwencję modeli, które są w równowadze termicznej, tj. dla których L = Ln i Lg = 0 (por. równanie (ts.4)). Przyjmiemy tak jak poprzednio następujące zależności:
|
|
= 2 |
|
, |
(zakładamy, że |
Teff = const |
), |
| (ts.25) |
Łącząc równania (ts.23) – (ts.26), otrzymujemy
| = |
| (ν + 1) – (2 ⁄ 3 ν + 1)(Rmin ⁄ R)2 |
|
| 1 – (Rmin ⁄ R)2 |
|
|
|
+ |
| (2ν + 5)(Rmin ⁄ R)2 – (ν + 5) |
|
| 1 – (Rmin ⁄ R)2 |
|
|
|
. |
| |
Wzdłuż ciągu modeli w równowadze termicznej żądamy, by δ(Ln – L) = 0. Dlatego też, równanie (ts.27) daje różniczkową zależność masa – promień, którą można zapisać w postaci
|
|
= |
| (ν + 5) – (2ν + 5)(Rmin ⁄ R)2 |
|
| (ν + 1) – (2 ⁄ 3 ν + 1)(Rmin ⁄ R)2 |
|
. |
| (ts.28) |
Gdy gwiazdy są niezdegenerowane, tj. gdy R » Rmin, wówczas zależność masa – promień (ts.28) daje
|
|
= |
|
= |
|
, |
dla |
R » Rmin |
, |
ν = 5 |
. |
| (ts.29) |
Powyższe dobrze opisuje zależność dla małomasywnych gwiazd ciągu głównego. Gdy masa jest obniżona, związek masa – promień (ts.29) implikuje ρc ~ M ⁄ R3 ~ M – 4 ⁄ 5, Tc ~ M ⁄ R ~ M 2 ⁄ 3 i stosunek ciśnienia gazu zdegenerowanego do niezdegenerowanego Pd ⁄ Pnd ~ ρc2 ⁄ 3 ⁄ Tc ~ M – 14 ⁄ 15. Dlatego też, dla gwiazd o mniejszej masie, degeneracja elektronów jest istotniejsza. Wzrost degeneracji implikuje, że stosunek R ⁄ Rmin jest zmniejszony i ostatecznie może zbliżać się do 1, nie może być jednak mniejszy niż 1. Stąd też mianownik prawej strony równania (ts.28) jest zawsze dodatni, natomiast licznik może stać się ujemny, wraz ze wzrostem stosunku Rmin ⁄ R. W szczególności, licznik znika i osiągamy minimalną masę, gdy
| (ν + 5) – (2ν + 5) |
|
|
2 |
= 0 |
, tj. |
| (ts.30) |
|
|
= |
|
|
1 ⁄ 2 |
= 1.5 1 ⁄ 2 ≈ 1.225 |
. |
| |
Ciąg gwiazd w równowadze termicznej może być rozciągnięty poza punkt zdefiniowany przez równanie (ts.30). Jednakże podczas gdy promień gwiazdowy może wciąż maleć, masa gwiazdy będzie rosnąć. Zatem dla mas nieco powyżej masy minimalnej są dwa różne modele równowagowe: jeden na tak zwanej gałęzi normalnej ciągu głównego, wzdłuż której masa i promień gwiazdy rosną razem oraz drugi model na tak zwanej gałęzi wysokiej gęstości, wzdłuż której promień gwiazdy maleje, podczas gdy jej masa wzrasta. Gałąź ta jest jedynie zgrubsza opisana przez nasz uproszczony zewnętrzny warunek brzegowy, Teff = const. W pewnym punkcie, gdy wnętrze gwiazdy staje się coraz bardziej zdegenerowane, temperatura powierzchniowa musi również spaść. Aczkolwiek nawet taki zgrubny zewnętrzny warunek brzegowy pozwala zademonstrować, że jest pewna minimalna masa dla modeli spalania wodoru w równowadze termicznej. Obliczenia numeryczne pokazują, że wynosi ona 0.08M .
Rozważmy teraz stabilność termiczną modeli w pobliżu masy minimalnej. Związki (ts.15) i (ts.17) są poprawne dla jakiejkolwiek gwiazdy nierelatywistycznej opisanej przez politropę o indeksie n = 1.5. Mamy L = Ln + Lg oraz δ(Ln – L) = – δLg. Łącząc równania (ts.17) i (ts.27) oraz utrzymując δM = 0, otrzymujemy
| σ = |
|
|
|
|
| (2ν + 5)(Rmin ⁄ R)2 – (ν + 5) |
|
| 1 – (Rmin ⁄ R)2 |
|
. |
| (ts.31) |
W granicy R » Rmin równanie (ts.31) daje taki sam wynik, jak równanie (ts.21). Jednakże równanie (ts.31) pozwala wyliczyć wartość własną σ również dla częściowo zdegenerowanych gwiazd. W sposób oczywisty σ < 0 gdy R > 1.225Rmin, tj. na gałęzi normalnej ciągu głównego, σ = 0 gdy osiągnięte jest minimum masy oraz σ > 0 dla modeli na gałęzi wysokiej gęstości ciągu głównego. Dlatego też zwykłe gwiazdy ciągu głównego są termicznie stabilne, podczas gdy modele na gałęzi wysokiej gęstości — niestabilne. Przejście od stabilności do niestabilności pokrywa się z punktem odgięcia ciągu głównego, gdzie osiągane jest minimum masy. Czyli tak jak należało się spodziewać z ogólnej zależności pomiędzy liniowym szeregiem modeli gwiazdowych a stabilnością gwiazdową.
Podobna technika może zostać zastosowana do analizy stabilności termicznej bardzo masywnych gwiazd, które także są w pełni konwektywne. W tym przypadku jako bardzo dobre przybliżenie możemy użyć modelu Eddingtona a strukturę gwiazdy przybliżyć politropą o indeksie n = 3. W takim też przypadku trzeba wziąć pod uwagę nie tylko ciśnienie gazu, ale również ciśnienie promieniowania, a zaburzenie termalne nie zmienia jasności powierzchniowej gwiazdy, gdyż ta zależy jedynie od masy gwiazdy.
Autor: prof. Bohdan Paczyński
Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski
|
|
