Spis
treści
Spis
wykładów
|
|
|
|
Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 1.00
|
XXII. Białe karły (karły zdegenerowane).
Białe karły są gwiazdami podtrzymywanymi przez ciśnienie zdegenerowanego gazu elektronowego, tj. energia kinetyczna kT w ich wnętrzach jest dużo mniejsza aniżeli energia Fermiego EF. Wyprowadzimy równania struktury białych karłów, nazywanych czasami karłami zdegenerowanymi, w przypadku granicznym, gdy ich ciśnienie termiczne może być pominięte, ale zdegenerowany gaz elektronowy może być albo nierelatywistycz-ny, albo nieco relatywistyczny, albo też ultrarelatywistyczny.
Wprowadzimy zmienną x zdefiniowaną jako bezwymiarowy pęd elektronu:
| x ≡ p ⁄ mc |
, |
xF ≡ pF ⁄ mc |
. |
| (wd.1) |
Korzystając z wyprowadzeń poczynionych w rozdziale „Równanie stanu”, gęstość i ciśnienie możemy zapisać jako funkcję bezwymiarowego pędu Fermiego xF
gdzie X to obfitość wodoru jako udział masowy, μe jest średnią liczbą nukleonów na elektron, natomiast
| A ≡ |
|
|
 |
|
 3 |
H = 0.981 × 106 |
|
[g cm –3] |
, |
| (wd.3a) |
| B ≡ |
|
|
|
|
3 |
mc2 = 4.80 × 1023 |
|
[erg cm –3] |
. |
| (wd.3b) |
Równanie równowagi hydrostatycznej może być zapisane następująco
gdzie, dla uproszczenia, napisaliśmy x zamiast xF. Równanie zachowania masy, może być napisane jako
Wprowadzimy bezwymiarowe zmienne x1, x2 i x3, zdefiniowane poprzez związki:
| r ≡ αrx1 |
, |
Mr ≡ αmx2 |
, |
1 + x2 ≡ x3 |
. |
| (wd.6) |
Łącząc równania (wd.4), (wd.5) oraz (wd.6), otrzymamy równania wyrażone w zmiennych bezwymiarowych
|
|
= – |
 |
|
|
|
![]](pics/nawias_kw_math-p.gif) |
|
|
x3 1 ⁄ 2 |
, |
| (wd.7) |
|
|
= |
|
4πAμe |
|
|
x12 (x3 – 1)1.5 |
. |
| (wd.8) |
Dwa parametry skalujące — αr i αm — mogą być dobrane tak, by stałe w nawiasach kwadratowych w równaniach (wd.7) i (wd.8) równały się jedności. Osiągamy to kładąc
| αr = |
|
|
1 ⁄ 2 |
|
|
= 5.455 × 108 μe– 1 (cm) = 0.00784R μe– 1 |
, |
| (wd.9) |
| αm = |
|
|
|
|
1.5 |
|
|
= 2.00 × 1033 μe– 2 (g) = 1.005Mμe– 2 |
. |
| (wd.10) |
Przy takich parametrach skalujących, równania (wd.7) i (wd.8) mogą być zapisane następująco
Bezwymiarowe równania (wd.11) i (wd.12) trzeba uzupełnić o dwa warunki brzegowe. Są one następujące:
| x3 = x3,c |
, |
x2 = 0 |
, |
dla |
x1 = 0 |
, |
(wewnętrzny warunek brzegowy) |
, |
| (wd.13) |
| x3 = 1 |
, |
x2 = x2,s |
, |
dla |
x1 = x1,s |
, |
(zewnętrzny warunek brzegowy) |
, |
| (wd.14) |
gdzie x3,c jest wartością w centrum zmiennej x3, a x2,s i x1,s wartościami powierzchnio-wymi bezwymiarowych odpowiednio masy i promienia. Całkowita masa i całkowity promień białego karła są dane jako
| M = αmx2,s |
, |
R = αrx1,s |
. |
| (wd.15) |
Ponieważ mamy dwa wewnętrzne warunki brzegowe (wd.13), jak również dwa równania różniczkowe zwyczajne (wd.11) i (wd.12), dlatego też możemy traktować (wd.13) jako warunki początkowe dla całkowań, w których x3,c jest parametrem swobodnym. Dla zadanej wartości x3,c możemy policzyć gęstość centralną korzystając z równań (wd.2a) i (wd.6). Następnie całkujemy numerycznie równania (wd.11) i (wd.12), obliczamy x1,s oraz x2,s odpowiadające x3 = 1, tj. ρ = 0 na powierzchni białego karła, by ostatecznie policzyć całkowitą masę i promień z równań (wd.15). W ten oto sposób możemy otrzymać zależność masa – promień dla białych karłów.
Zależność masa – promień dla białych karłów może być oszacowana poprzez zastosowanie zwyczajowych przybliżeń algebraicznych do równań różniczkowych struktury gwiazdowej oraz przybliżenia analitycznego równania stanu zdegenerowanego gazu elektronowego. Równania struktury gwiazdy mogą być przybliżone następująco:
Równanie stanu może być przybliżone następująco
| P ≈ |
|
(K1ρ 5 ⁄ 3) – 2 + (K2ρ 4 ⁄ 3) – 2 |
– 1 ⁄ 2 |
. |
| (wd.18) |
Równania (wd.16), (wd.17) i (wd.18) można połączyć, by otrzymać
Powyższe można przearanżować do postaci
| R ≈ |
|
|
|
1 – |
|
1 ⁄ 2 |
. |
| (wd.20) |
Ostatnie równanie powinno mieć poprawną, asymptotyczną postać, może jednakże zawierać bezwymiarowe współczynniki rzędu jedności, których nasza przybliżona analiza nie może dostarczyć. Współczynniki te możemy wszelako odzyskać zauważając, iż w dwóch przypadkach granicznych, ρ « 106 g cm – 3 i ρ » 106 g cm – 3, równanie stanu (wd.18) jest bardzo dobrze przybliżone politropą o indeksie odpowiednio n = 1.5 i n = 3. W owych dwóch przypadkach granicznych mamy dokładne zależności masa – promień:
| M = |
|
|
1.5 |
= 1.142 × 1034 μe – 2 (g) = 5.74Mμe – 2 |
, |
dla n = 3 |
. |
| (wd.22) |
Łącząc równania (wd.21) i (wd.22), możemy zapisać (wd.20) jako
| 0.0126R |
|
|
5 ⁄ 3 |
|
|
| M |
|
| M |
|
– 1 ⁄ 3 |
|
|
1 – |
|
|
4 ⁄ 3 |
1 ⁄ 2 |
, |
| |
z masą Chandrasekhara
Analityczna formuła (wd.23) przybliża dokładną, numeryczną zależność masa – promień dla białych karłów, z błędem mniejszym niż 15% dla mas w pobliżu granicy Chandrasekhara i znacznie lepszą dokładnością dla mniejszych mas.
Poniższa tabela zawiera porównanie numerycznych i analitycznych wartości promieni białych karłów dla μe = 2. Pierwsza kolumna to logarytm gęstości centralnej, druga — masa białego karła w jednostkach M, trzecia i czwarta — odpowiednio numeryczne i analityczne promienie białych karłów, w jednostkach R, a piąta — błąd ułamkowy promienia analitycznego.
| log ρc |
M ⁄ M |
R ⁄ R |
błąd |
|
|
numeryczny |
analityczny |
|
| 4 |
.04811 |
.3448 |
.3446 |
.0008 |
| 5 |
.14600 |
.2339 |
.2335 |
.0015 |
| 6 |
.39366 |
.01566 |
.01558 |
.0048 |
| 7 |
.80146 |
.01013 |
.00997 |
.0158 |
| 8 |
1.16176 |
.00619 |
.00593 |
.0411 |
| 9 |
1.34619 |
.00353 |
.00325 |
.0803 |
| 10 |
1.41096 |
.00188 |
.00165 |
.1230 |
Autor: prof. Bohdan Paczyński
Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski
|
|
