Spis
treści
Spis
wykładów
|
|
|
|
Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 1.00
|
XXIII. Izotermiczne jądra gwiazd.
Gdy gwiazda ciągu głównego wypali wodór w swoim centrum, powstaje helowe jądro. Początkowo, ułamek całkowitej masy gwiazdy w jądrze helowym jest mały, przynajmniej w gwiazdach o masie poniżej około 5M . Ponieważ brak jest źródeł nuklearnych, nie ma wypływu ciepła i jądro staje się izotermiczne. Cała moc promieniowania gwiazdy jest generowana w warstwie palącej wodór, tuż na zewnątrz jądra. Gwiazda pozostaje blisko ciągu głównego, podczas gdy wodoru zaczyna ubywać w coraz większym obszarze wnętrza. Masa jądra helowego wzrasta. Są teraz dwie możliwości. W gwiazdach małomasywnych, o masie poniżej w przybliżeniu 0.8M, gaz elektronowy w jądrze izotermicznym staje się zdegenerowany i jądro pozostaje stabilne przez długi czas. W gwiazdach masywniejszych degeneracja nie jest istotna i wzrastająca masa jądra może wywołać jego grawitacyjną niestabilność. Zjawisko to jest związane z niestabilnością Jeansa. W związku z izotermicznymi jądrami gwiazd, została po raz pierwszy odkryta przez Schonberga i Chandrasekhara (1942, Ap. J., 96, 161). Okazuje się, że w gwiazdach o średniej masie, jądro izotermiczne nie może mieć więcej niż około 10% całkowitej masy gwiazdy - jest to tzw. granica Schonberga-Chandrasekhara (nie ma to żadnego związku z granicą Chandrasekhara dla białych karłów).
Najpierw pokażemy bardzo bardzo zgrubną analizę masy izotermicznego jądra gwiazdowego. Są dwa wyraźnie odmienne przypadki dla takiego jądra, zależnie od stosunku energii termicznej do grawitacyjnej. W jądrze izotermicznym bez gradientu temperatury, brak jest gradientu ciśnienia promieniowania, a energia termiczna na cząstkę to w przybliżeniu kT. Jeśli masa jądra wynosi Mc, a jego promień to Rc, wówczas grawitacyjna energia potencjalna na cząstkę wynosi w przybliżeniu GMcμH / Rc, gdzie μH jest średnią masą cząstki. Krytyczna zależność to
Typowa gęstość w jądrze to ρ ≈ Mc / Rc3. Łącząc to z równaniem (iso.1), możemy zapisać krytyczny promień i masę jądra izotermicznego, jako
| Rcrit ≈ |
 |
|
 1/2 |
|
|
1/2 |
≈ 0.5R |
|
|
1/2 |
, |
| (iso.2a) |
| Mcrit ≈ |
|
|
3/2 |
|
|
1/2 |
≈ 2M |
|
|
1/2 |
, |
| (iso.2b) |
Krytyczna masa jądra dana równaniem (iso.2b) jest w istocie masą Jeansa, kiedy jądro staje się samograwitujące.
Jeśli masa jądra Mc << Mcrit, wówczas energia termiczna jest dużo większa niż energia grawitacyjna samego jądra, gęstość centralna jest jedynie nieco większa niż na powierzchni jądra, dlatego też ciśnienie centralne jest jedynie nieco większe niż ciśnienie na styku jądro — otoczka. Oznacza to, iż zewnętrzne cisnienie jest niezbędne do konstytuowania jądra, z racji zaniedbywalnej jego samograwitacji.
Jeśli masa jądra Mc przybliża się do Mcrit, to samograwitacja jądra staje się istotna, ciśnienie centralne staje się dużo większe niż na styku jądro — otoczka, a ciśnienie zewnętrzne jest jedynie małą częścią ciśnienia centralnego. Okazuje się, że jeśli przekroczona zostaje masa krytyczna, to jądro o danej temperaturze nie może już dalej przeciwstawiać się swojej własnej grawitacji i musi się skurczyć. W przypadku obłoku materii międzygwiazdowej, termiczna skala czasowa jest krótsza, aniżeli dynamiczna i kontrakcja przebiega zgodnie z tą drugą, tj. obłok doświadcza kolapsu na zasadzie swobodnego spadku. W jądrze gwiazdy z kolei, termiczna skala czasowa jest dużo dłuższa niż dynamiczna i taki kolaps jest niemożliwy. Kontrakcja jądra zachodzi w termicznej skali czasowej, tj. w skali czasowej, w której ciepło może dyfundować z jądra. Ta dyfuzja ciepła wytwarza gradient temperatury, który jest zasadniczy dla utrzymania równowagi hydrostatycznej jądra.
Podobne zjawisko pojawia się w skupisku wielu gwiazd, takich jak gromada kulista czy nawet galaktyka. Jeśli dyspersja prędkości gwiazd jest taka sama we wszystkich odległościach radialnych od środka gromady, wówczas całkowity rozkład gęstości jest taki sam, jak dla gwiazdy izotermicznej, z liczbą gwiazd w odległości R od środka gromady, będącą proporcjonalną do R. Gęstość ilościowa wzrasta jak R-2 aż do pewnego promienia jądra Rc i jest bardziej lub mniej stała dla R < Rc. Okazuje się, że jeśli zakres promieni, w którym rozkład gęstości jest izotermiczny jest większy niż pewna wartość krytyczna, to system staje się niestabilny i doznaje katastrofy grawitermalnej, a promień jądra kurczy się do o wiele mniejszych wartości (zob. J. Binney i Scott Tremaine: Dynamika Galaktyki, str. 504, [Princeton Series in Astrophysics, Princeton University Press, 1987]).
Poczyńmy obecnie dokładniejszą analizę struktury jądra izotermicznego. Równania równowagi hydrostatycznej i zachowania masy, mogą być zapisane jako
Możemy wprowadzić zmienne bezwymiarowe ξ, λ oraz m, zdefiniowane jako
gdzie wielkości w nawiasach kwadratowych są czynnikami skalującymi. Teraz równania (iso.3) mogą być zapisane w postaci bezwymiarowej:
W ogólności, równania (iso.5) muszą być całkowane numerycznie. Jednakże, są proste przybliżenia analityczne dla dwóch przypadków, ξ << 1 i ξ >> 1. Są to
| λ ≈ 1 - |
|
ξ2 + |
|
ξ4 |
. |
dla |
ξ << 1 |
, |
| (iso.6a) |
| m ≈ |
|
ξ3 - |
|
ξ5 |
. |
dla |
ξ >> 1 |
, |
| (iso.6b) |
oraz
Załóżmy, że mamy jądro izotermiczne o określonej zewnętrznej granicy: zewnętrznej gęstości ρo oraz temperaturze T. Oczywiście temperatura jest stała w obrębie jądra. Załóżmy, że mamy rozwiązanie numeryczne równań bezwymiarowych (iso.5), tj. znamy λ(ξ) oraz m(ξ), które mogą być zapisane jako ξ(λ) i m(λ), przy czym λ = ρo / ρc < 1. Możemy zapisać promień jądra i jego masę w jednostkach fizycznych jako
W granicy ξ << 1 mamy
W granicy ξ >> 1 mamy
| Rc ≡ |
 |
|
|
1/2 |
![]](pics/nawias_kw_math-p.gif) |
21/2 |
dla ξ >> 1 |
, |
| (iso.10b) |
| Mc ≡ |
|
|
|
3/2 |
|
|
23/2 |
dla ξ >> 1 |
. |
| (iso.10c) |
Zauważmy, iż równanie (iso.10c) daje precyzyjniejsze oszacowanie maksymalnej masy jądra izotermicznego. Jeszcze dokładniejszy szacunek jest możliwy przy całkowaniu numerycznym.
Równania struktury (iso.5) zostały scałkowane numerycznie, by otrzymać zależności λ(ξ) i m(ξ). Te zostały nastepnie połaczone, w celu znalezienia zmiany bezwymiarowego promienia jądra ξλ1/2 oraz jego bezwymiarowej masy mλ1/2, ze stosunkiem gęstości centralnej ρc do gęstości na powierzchni jądra ρ0, ρc / ρo = 1 / λ. Zauważmy, że maksymalny bezwymiarowy promień jądra 1.823 otrzymujemy dla ρc / ρo = 5.00, podczas gdy maksymalną bezwymiarową masę jądra 4.19 — dla ρc / ρo = 14.07.
Autor: prof. Bohdan Paczyński
Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski
|
|
