Spis
treści
Spis
wykładów
|
|
|
|
Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 1.00
|
XXV. Model jednostrefowy błysków shellowych.
Rozważać będziemy model zwartej gwiazdy, białego karła lub gwiazdy neutronowej, akreującej materię w stałym tempie  a. Zakładamy symetrię sferyczną oraz ignorujemy wszystkie efekty dynamiczne związane ze spadkiem materii na powierzchnię gwiazdy. Spadająca materia jest bogata w paliwo nuklearne, wodór i (lub) hel. Gdy uzbiera się wystarczająco dużo materii następuje zapłon paliwa nuklearnego. Zajmować się będziemy stacjonarnym spalaniem jądrowym, jego stabilnością oraz zmiennością czasową w modelach niestabilnych. Ten typ scenariusza jest odpowiedni dla nowych (Gallagher, J.S. i Starrfield, S. 1978, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 16, 171), bursterów rentgenowskich (Joss, P.C. i Rappaport, S.A. 1984, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 22, 537), niektórych gwiazd symbiotycznych, jak również dla pojedynczych gwiazd palących wodór i hel w dwóch cienkich warstwach, otaczających zdegenerowane jądro węglowo-tlenowe, o masach pomiędzy 0.7M a 8M (Iben, I.Jr i Renzini, A. 1983, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 21, 271). Pełnoskalowe obliczenia modelowe, wymagają numerycznego całkowania równań różniczkowych cząstkowych gwiezdnej ewolucji. Wymaga to mnóstwa czasu na programowanie, czasu komputerów, a wyniki są trudne do zinterpretowania przy pomocy prostych pojęć. Z tego powodu dobrze jest możliwie najbardziej uprościć problem, pozostawiając jednak najbardziej fundamentalną fizykę, niezbędną do otrzymania modeli, które mają własności jakościowo, a nawet ilościowo podobne do pełnoskalowych obliczeń. Jest to możliwe w modelu jednostrefowym (Paczyński, B. 1983, Astrophysical Journal, 264, 282).
Warstwy, w których zachodzi spalanie jądrowe, są geometrycznie cienkie, dlatego w rozsądny sposób można przybliżyć je przez cienkie, płasko – równoległe strefy. Interesować się będziemy obszarem pomiędzy podstawą warstwy spalania jądrowego, poniżej której zawartość wodoru X = 0 oraz powierzchnią, na którą spada świeża materia. Promienie obu granic to odpowiednio Rb i Rs, a ΔR ≡ Rs – Rb « Rs, tj. możemy zdefiniować R ≈ Rs ≈ Rb. Wygodnie jest wprowadzić nową zmienną przestrzenną, masową gęstość powierzchniową Σ, przy czym dΣ = ρdr. Równania struktury gwiazdy mogą być napisane w postaci:
|
|
| = – g ≡ |
|
, |
(równowaga hydrostatyczna) |
| (oz.1a) |
|
|
= – |
|
≡ |
|
, |
(równowaga promienista) |
| (oz.1b) |
|
|
= ∈ – T |
|
, |
(bilans cieplny) |
| (oz.1c) |
gdzie P jest całkowitym ciśnieniem, Pr ciśnieniem promieniowania, ρ gęstością, T temperaturą, S entropią, Σ kolumnową gęstością masy, t czasem, F promienistym strumieniem cieplnym, ∈ tempem wytwarzania energii jądrowej (erg g – 1 s – 1), κ nieprzezroczystością (cm2 g – 1, c jest prędkością światła, a E* energią wyzwoloną przez spalenie 1 grama wodoru).
Warunki brzegowe na górze strefy, tj. na powierzchni gwiazdy, są następujące
| Σ = Σs(t) |
, |
P ≈ 0 |
, |
Pr ≈ 0 |
, |
X = Xs |
, |
| (oz.2a) |
natomiast warunki brzegowe u spodu strefy to:
| Σ = Σb(t) |
, |
F = Fb |
, |
X = 0 |
, |
| (oz.2b) |
gdzie Fb jest strumieniem cieplnym z jądra gwiazdy. Tempo akrecji jest związane z zewnętrzną granicą poprzez
|
|
=  a ≡ |
 a |
|
| 4πR2 |
|
, |
| (oz.3) |
a gęstość kolumnowa strefy jest dana jako
Równania różniczkowe (oz.1) można scałkować po całej bogatej w wodór strefie, by otrzymać
| F = |
|
 |
∈ – T |
|
 |
dΣ ≈ Fb + |
|
∈ – T |
|
|
ΔΣ |
, |
| (oz.5c) |
We wszystkich tych równaniach P, Pr, T, ρ, S, κ, ∈ odnoszą się do wartości odpowiednich wielkości fizycznych na spodzie strefy, natomiast X oraz F — do wartości na powierzchni. Wygląda to na bardzo zgrubne przybliżenie, jednako jest ono zadziwiająco dokładne, ponieważ wszystkie te wartości zmieniają się monotonicznie w obrębie warstwy.
Równanie (oz.5d) daje tempo, z którym wodór jest zużywany w całej strefie. Przyjmiemy także przybliżenie, iż jest to zarazem tempo, w którym materia przetworzona przez spalanie jądrowe opuszcza strefę poprzez dno warstwy do jądra. Łącząc to przybliżenie z równaniami (oz.3) i (oz.4), otrzymujemy
| X |
|
= Xa – |
|
. |
| (oz.5e) |
Zbiór równań (oz.5) może być zapisany w postaci dwóch równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu
|
|
= ga – |
|
. |
| (oz.6b) |
uzupełnionych przez liczne równania algebraiczne
oraz zależności różniczkowe:
| T |
|
= |
|
|
 |
(16 – 12β – 1.5β2) |
|
– (4 – 3β) |
|
![]](pics/nawias_kw_math-p.gif) |
, |
| (oz.8a) |
| d ln P = (4 – 3β)d ln T + βd ln ρ |
, |
| (oz.8b) |
| d ln ∈ = νd ln T + d ln ρ |
, |
| (oz.8c) |
dla ν = const » 1.
Wygodnie jest wprowadzić strumień cieplny Eddingtona, zdefiniowany jako
Łącząc równania (oz.7b) i (oz.9), otrzymujemy
czyli, zgodnie z oczekiwaniami, powierzchniowy strumień cieplny nie może przekroczyć granicy Eddingtona.
1. Modele stacjonarne
Przyjrzymy się najpierw modelom stacjonarnym, tj. takim, w których pochodne czasowe są równe zeru. Równania (oz.6) można połączyć i otrzymać
| a = |
|
= |
|
. |
| (oz.11) |
Wygodnie jest wyrazić strumienie cieplne i tempo akrecji w jednostkach Eddingtona:
Połączymy teraz równania (oz.7b) i (oz.11)
1 – β = f = fb +  |
, |
β = max – |
, |
0 < < max = 1 – fb |
. |
| (oz.13) |
Temperatura, gęstość i tempo spalania jądrowego mogą być wyrażone jako
| T = |
|
|
Pr |
1 ⁄ 4 |
= |
|
|
|
|
(1 – β)P |
1 ⁄ 4 |
= |
|
|
|
1 ⁄ 4 |
|
(fb + )1 ⁄ 4 P1 ⁄ 4 |
, |
| (oz.14a) |
| ∈ = ∈0Tν = |
|
∈0 |
|
|
|
|
(ν – 1) ⁄ 4 |
|
(max – ) (fb + )(ν – 1) ⁄ 4 P(ν + 1) ⁄ 4 |
. |
| (oz.14c) |
Łącząc równania (oz.14) z (oz.12c) oraz (oz.7a), otrzymujemy
|
|
= |
|
= |
| 4 ⁄ (ν + 7) |
|
| (max – )4 ⁄ (ν + 7) (fb + )(ν – 1) ⁄ (ν + 7) |
|
, |
| (oz.15a) |
| P* = |
|
|
|
|
|
|
|
(ν – 1) ⁄ 4 |
4 ⁄ (ν + 7) |
, |
Σ* = |
|
, |
| (oz.15b) |
W wyniku zróżniczkowania równania (oz.15a) otrzymujemy
| d ln Σ |
|
| d ln a |
|
= |
| d ln P |
|
| d ln |
|
= |
|
|
|
1 + |
|
– |
| (ν – 1) |
|
| 4(fb + ) |
|
|
= |
| |
| = |
| 4 – β(ν – 1 – α) |
|
| β(1 + α)(ν + 7) |
|
, |
α ≡ |
| fb |
|
|
|
. |
| (oz.16) |
Gdy tempo akrecji jest bardzo wysokie, wówczas ≈ max = 1 – fb, a pochodna d ln P ⁄ d ln rośnie aż do + ∞. Jeśli « fb « 1, wówczas dwa ostatnie wyrazy po prawej stronie równania (oz.16) są nieistotne, a d ln P ⁄ d ln ≈ 4 ⁄ (ν + 7) > 0. Dlatego też, dla bardzo wysokich, jak również bardzo małych temp akrecji, ciśnienie w modelu jednostrefowym, a stąd także kolumnowa gęstość masy, rosną wraz ze wzrostem tempa akrecji. Jednakże dla pośredniego tempa akrecji, fb « «, ostatni wyraz prawej strony równania (oz.16) jest dominujący, więc d ln P ⁄ d ln ≈ – (ν – 1) ⁄ (ν + 7) > 0, czyli ciśnienie jest malejącą funkcją tempa akrecji.
2. Stabilność termiczna
Rozważymy obecnie stabilność termiczną modelu jednostrefowego, o danej powierzchniowej gęstości masy Σ oraz strumienia ciepła przepływający przez dno strefy Fb. Po pierwsze, startujemy z modelu w równowadze termicznej, czyli dla dS ⁄ dt = 0 oraz dP ⁄ dt = gdΣ ⁄ dt = 0. Spełnia on równania
Natępnie, wprowadzamy do modelu termiczne zaburzenie, zaniedbując ewolucję jądrową modelu, tj. bierzemy dS ⁄ dt ≠ 0, ale utrzymujemy dP ⁄ dt = gdΣ ⁄ dt = 0. Wyrażamy zaburzenia wszystkich zmiennych, δS, δρ, δ∈ i δF w jednostkach zaburzenia temperatury δT, utrzymując δP = 0. Otrzymujemy
| δln ∈ = |
|
ν – |
|
|
δln T |
, |
| (oz.18c) |
Wstawiając wszystkie te perturbacje do równania bilansu cieplnego (oz.6a) i biorąc pod uwagę zależność pomiędzy wielkościami niezaburzonymi, tj. (oz.17), otrzymujemy
| = δ∈ – δF |
|
= ∈ |
|
ν – |
|
|
δln T – |
|
4δln T = |
| |
| = ∈ |
|
ν – |
|
– 4 |
|
|
δln T = |
| |
| = ∈ |
|
ν – |
|
+ 3 – 4 |
|
|
δln T = |
| |
| = ∈ |
|
ν + 3 – |
| 4 |
|
| (max – ) |
|
– 4 |
| + fb |
|
|
|
|
δln T = |
| |
| = ∈ |
|
ν – 1 – |
| 4 |
|
| (max – ) |
|
– 4 |
| fb |
|
|
|
|
δln T = |
| |
| = 4∈ |
|
|
– |
| 1 |
|
| (max – ) |
|
+ 1 – 1 – |
| fb |
|
|
|
|
δln T = |
| |
| = 4∈ |
| (fb + ) |
|
|
|
|
|
| (ν – 1) |
|
| 4( + fb) |
|
– |
|
– 1 |
|
δln T |
. |
| (oz.19) |
Równanie różniczkowe (oz.19) można rozwiązać i uzyskać
| δln T = (δln T)t = 0eσt |
, |
| (oz.20a) |
| σ = |
|
|
| 4β(fb + ) |
|
| (16 – 12β –1.5β2) |
|
|
|
| (ν – 1) |
|
| 4( + fb) |
|
– |
|
– 1 |
|
= |
| (oz.20b) |
| = – |
|
|
| 4 – β(ν – 1 – α) |
|
| (16 – 12β –1.5β2) |
|
, |
α ≡ |
| fb |
|
|
|
, |
| |
| τth ≡ |
|
= termiczna skala czasowa ≈ |
| zawartość cieplna |
|
| tempo wytwarzania ciepła |
|
. |
| (oz.20c) |
Rozwiązanie (oz.20a) rośnie wykładniczo, o ile σ > 0, tj. gdy wartość nawiasu kwadratowego w równaniu (oz.20b) jest dodatnia. Zauważmy, iż zawartość tego nawiasu kwadratowego jest równa zawartości nawiasu kwadratowego w równaniu (oz.16), z przeciwnym znakiem. Oznacza to, że model jednostrefowy jest niestabilny wówczas, gdy, w liniowym szeregu takich modeli, kolumnowa gęstość masy jest malejącą funkcją tempa akrecji. Dlatego też, modele o pośrednim tempie akrecji są niestabilne, podczas gdy te z bardzo wysokim, lub bardzo niskim tempem akrecji — są stabilne.
Łatwo jest zrozumieć, dlaczego modele o bardzo małym tempie akrecji, « fb, są stabilne. W modelach takich niemal cała energia wypromieniowana z powierzchni pochodzi z jądra gwiazdy, a wkład energetyczny ze spalania jądrowego jest nieznaczny.
Modele o pośrednim tempie akrecji, fb « « 1, są niestabilne z powodu bardzo wysokiej czułości temperatury na szybkość reakcji jądrowych, tj. ν » 1. Zgodnie z równaniem (oz.17), tempo wytwarzania ciepła jest proporcjonalne do ∈, tj. do Tν, podczas gdy straty cieplne są proporcjonalne do T4. Dlatego też, niewielki wzrost temperatury powyżej wartości równowagowej, poskutkuje grzaniem "na czysto" oraz dalszy wzrost temperatury i tak dalej. Mamy zatem termiczną reakcję łańcuchową, czyli niestabilność termiczną.
Modele o bardzo wysokich tempach akrecji, ≈ max = 1 – fb są na powrót stabilne, ponieważ szybkość reakcji jądrowej jest czuła także na gęstość, ∈ ~ ρ. Kiedy tempo akrecji jest bliskie maksimum, jasność jest bliska granicy Eddingtona; dominuje ciśnienie promieniowania, P ≈ Pr = (a ⁄ 3)T4. Ponieważ ciśnienie w modelu jednostrefowym pozostaje stałe podczas zaburzenia termicznego, dlatego też najmniejszemu wzrostowi temperatury towarzyszy bardzo duży spadek gęstości, a w rezultacie zmniejsza się tempo wytwarzania energii jądrowej, co czyni model stabilnym.
Zwróćmy uwagę, iż przejście od modeli stabilnych do niestabilnych następuje w punktach odejścia liniowych szeregów modeli jednostrefowych, w których kolumnowa gęstość masy Σ ma lokalne maksimum lub lokalne minimum, czyli d ln Σ ⁄ d ln a = 0.
Autor: prof. Bohdan Paczyński
Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski
|
|
