Spis
treści
Spis
wykładów
|
|
|
|
Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 1.00
|
XXVII. Dyski akrecyjne.
1. Wstęp i odnośniki.
Klasycznymi pracami traktującymi o cienkich dyskach akrecyjnych, są: J.E. Pringle i M.J. Rees (1972, Astronomy & Astrophysics, 21, 1), N.I. Shakura i R.A. Sunyayev (1973, Astronomy & Astrophysics, 24, 337) oraz D. Lynden-Bell i J.E. Pringle (1974, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 168, 603). Wczesne dokonania zostały dobrze omówione przez J.E. Pringle'a (1981, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 19, 137).
Nowsze prace przeglądowe to: P. Bodenheimer, „Angular Momentum Evolution in Young Stars and Disks” (1995, Ann. Rev. Astron. & Ap., 33, 199), J.C.B. Papaloizou i D.N.C. Lin: „Theory of Accretion Disks I: Angular Momentum Transport Processes” (1994, Ann. Rev. Astron. & Ap., 33, 505), D.N.C. Lin i J.C.B. Papaloizou: „Theory of Accretion Disks II: Application to Observed Systems” (1996, Ann. Rev. Astron. & Ap., 34, 703), L. Hartman i S.J. Kenyon: „FU Orionis Phenomenon” (1996, Ann. Rev. Astron. & Ap., 34, 205) oraz E.D. Feigelson i T. Montmerle: „High-Energy Processes in Young Stellar Objects” (1999, Ann. Rev. Astron. & Ap., 37, 363), które opisują obecną wiedzę o dyskach akrecyjnych wokół młodych gwiazd i protogwiazd; Y. Tanaka i N. Shibazaki: „X-Ray Novae” (1996, Ann. Rev. Astron. & Ap., 34, 607), która opisuje obiekty będące układami podwójnymi z dyskami wokół czarnych dziur.
Przez dziesięciolecia brakowało wyraźnego pomysłu na mechanizm fizyczny odpowiedzialny za transport momentu pędu w dyskach akrecyjnych. A.A. Galeyev, R. Rosner i G.S. Vaiana (1979, ApJ, 229, 318) podali chyba najlepszy zarys roli pól magnetycznych w dyskach. Postawili także bardzo istotną tezę, iż transportem momentu pędu oraz dyssypacją energii rządzą dwa nader odmienne procesy fizyczne. Wielkiego przełomu dokonali S.A. Balbus i J.F. Hawley (1991, ApJ, 376, 214), odkrywając na nowo potężną niestabilność magnetorotacyjną dysków. Wielka ilość późniejszych, głównie numerycznych, prac silnie sugeruje, że niestabilność ta generuje bardzo efektywny transport momentu pędu. Najprawdopodobniej jest również dominującym procesem napędzającym akrecję dysku (S.A. Balbus i J.F. Hawley, 1998, Reviews of Modern Physics, 70, 1).
Ostatnimi laty bardzo popularna, dzięki pracy Ramesha Narayana i Yi Insu (1995, ApJ, 444, 231), stała się koncepcja „akrecji zdominowanej przez adwekcję”. Łatwo można przeszukać literaturę, wchodząc na stronę Systemu Danych Astronomicznych (ADS = Astronomical Data System): http://adsabs.harvard.edu/abstract_service.html. Wpisując w polach „Title Words” i „Text Words” słowa kluczowe 'advection & dominated & accretion & flows' i zaznaczając przedział czasowy 01/1997 – 09/2000, otrzymamy listę 166 publikacji dotyczących tej tematyki. Pomysł jest bardzo prosty i nader obiecujący: jeśli dysk akreuje na czarną dziurę, wówczas brak jest warstwy granicznej — materia spada po prostu z wewnętrznej krawędzi dysku. Powinno zatem być możliwe znalezienie potwierdzenia obserwacyjnego takiej sytuacji. Jest to fundamentalna różnica pomiędzy czarną dziurą a gwiazdą neutronową (lub jakąkolwiek inną). Istnieją przesłanki obserwacyjne, iż tak właśnie jest: akreujące gwiazdy neutronowe mają warstwy graniczne, generujące silną emisję rentgenowską, podczas gdy brak jest takiej warstwy w akreujących obiektach, co do których przypuszczamy, iż są czarnymi dziurami: R. Narayan, M.R. Garcia i J.E. McClintock: „Advection Dominated Accretion and Black Hole Event Horizons” (1997, ApJ, 478, L79); K. Menou, A.A. Esin, R. Narayan, M.R. Garcia, J.-P. Lasota i J.E. McClintock: „Black Hole and Neutron Star Transients in Quiescence” (1999, ApJ, 520, 276); R. Sunyaev i M. Revnivtsev: „Fourier power spectra at high frequencies: a way to distinguish a neutron star from a black hole” (2000, Astron. & Ap., 358, 617); M.R. Garcia, J.E. McClintock, S.S. Murray i R. Narayan: „Chandra Observations of A0620-00 i GS2000+25: Two Very Dark Black Holes” (2000, http://www.aas.org/ publications/ baas/v32n3/head2000/404.htm).
Kontrowersyjna jest kolejna sprawa związana z akrecją na czarną dziurę. Przez wiele lat uznawano, iż „zerowy moment siły jako wewnętrzny warunek brzegowy” to dobre przybliżenie na wewnętrznej krawędzi dysku akreującego na czarną dziurę. Ostatnio, J.H. Krolik (1999, Apj, 515, L73), C.F. Gammie (1999, ApJ, 522, L57) oraz E. Agol i J.H. Krolik (2000, ApJ, 528, 161) przedstawili argumenty przemawiające za tezą, iż podejście tradycyjne nie jest prawidłowe. B. Paczyński (2000, astro-ph/0004129) oraz P.J. Armitage, C.S. Reynolds i J. Chiang (2000, astro-ph/0007042) przedstawili kontrargumenty za tym, że to jednak pogląd tradycyjny jest właściwy, z czym nie zgadzają się Krolik i in. Kwestia ta nie została dotychczas rozstrzygnięta.
2. Model newtonowski cienkiego dysku.
Przyjmijmy współrzędne cylindryczne, (r,z), gdzie r jest odległością od osi rotacji, natomiast z — odległością od płaszczyzny równikowej. Niech w centrum układu współrzędnych znajduje się masywny obiekt, z polem grawitacyjnym o symetrii sferycznej. Będziemy wymagać, aby potencjał grawitacyjny Φ był funkcją odległości od środka układu współrzędnych, R = (r2 + z2)1 ⁄ 2:
| Φ(R) < 0 |
, |
|
> 0 |
, |
Φ(R)R → ∞ → 0 |
. |
| (d1.1) |
W dalszej części rozważymy dość szczegółowo dwa przypadki, potencjał newtonowski Φ(R) = – GM ⁄ R oraz potencjał pseudo-newtonowski Φ(R) = – GM ⁄ (R – Rg), gdzie promień grawitacyjny Rg ≡ 2GM ⁄ c2. Odtąd będziemy rozważali ruch w płaszczyźnie z = 0, tak więc będziemy mieli r = R.
Cząstka próbna na orbicie kołowej w płaszczyźnie z = 0 ma prędkość obrotową v, która musi spełniać zależność
gdzie dΦ ⁄ dr jest przyspieszeniem grawitacyjnym. Dlatego też, prędkość obrotu wynosi
| v = |
 |
r |
|
 1 ⁄ 2 |
. |
| (d1.3) |
Prędkość kątowa jest dana jako
| Ω = |
|
= |
|
|
|
|
1 ⁄ 2 |
, |
| (d1.4) |
Okres obiegu to
natomiast moment pędu na jednostkę masy, to
| j = vr = |
|
r3 |
|
1 ⁄ 2 |
, |
| (d1.6) |
a całkowita energia mechaniczna na jednostkę masy
Zajmiemy się obecnie bardzo cienkim dyskiem gazowym, o warstwie połówkowej z0 « r. W cienkim dysku, prędkość obrotu jest funkcją jedynie r i jest praktycznie stała w walcach o stałym promieniu r. Powierzchniowa gęstość masy jest zdefiniowana jako
Jeśli obecna jest jakaś lepkość dynamiczna η oraz rotacja różniczkowa, tj. dΩ ≠ 0, wówczas istnieje moment siły (sprzężenie), działający pomiędzy dwoma sąsiednimi walcami
| g = r × 2π r × |
|
|
– |
|
r |
|
ηdz = – 2π r3 |
|
|
ηdz |
, |
| (d1.9) |
uwalniana jest również energia termiczna w wyniku oddziaływań lepkościowych pomiędzy walcami
| ∈ = |
|
r |
|
2 |
η |
, |
[erg s – 1 cm – 3] |
. |
| (d1.10) |
Bardzo istotne jest to, że ta sama lepkość, która jest odpowiedzialna za moment siły działający pomiędzy dwoma walcami, jest również odpowiedzialna za wytwarzanie ciepła. Moment siły i produkcja ciepła są tam dlatego, iż jest lepkość, jak również rotacja różniczkowa, tj. sąsiadujące walce rotują względem siebie.
Rozważymy obecnie przepływ masy, pędu i energii pomiędzy walcami położonymi w odległości r i r + dr. Tempo przepływu masy jest nazywane tempem akrecji, które może być wyrażone jako
 = 2π r |
|
ρvrdr = 2π rvrΣ |
, |
| (d1.11) |
gdzie |vr ⁄ v| « 1 jest bardzo małą prędkością radialną. Tempo przepływu momentu pędu  jest dane jako
| = j + g |
. |
| (d1.12) |
Wyraz j opisuje moment pędu przenoszony wraz z przepływem masy, natomiast g opisuje moment pędu przekazany przez siły lepkościowe. Tempo, z jakim energia przepływa przez walec o promieniu r, jest dane jako
 = e + gΩ |
, |
| (d1.13) |
gdzie pierwszy wyraz opisuje energię przepływającą z materią, podczas gdy drugi wyraz — energię przekazywaną przez siły lepkościowe. Dodatkowo, lepkość powoduje rozproszenie części energii w postaci ciepła. Ponieważ dysk jest bardzo cienki, to możemy założyć, iż energia ta jest wypromieniowywana lokalnie z powierzchni dysku w tempie F [erg cm – 2 s – 1]. Ponieważ dysk ma dwie powierzchnie, ilość energii (jasność — luminosity) wypromieniowywanej pomiędzy promieniem r a r + dr, jest dana jako
Ilość masy, momentu pędu i energii zawarta pomiędzy promieniami r a r + dr wynosi odpowiednio 2π rΣ, 2π rΣj oraz 2π rΣe. równania bilansu masy, momentu pędu i energii, mogą być zapisane następująco
|
|
(2π rΣ) + |
| ∂ |
|
| ∂r |
|
= 0 |
, |
| (d1.15) |
|
|
(2π rΣj) + |
| ∂ |
|
| ∂r |
|
= 0 |
, |
| (d1.16) |
|
|
(2π rΣe) + |
| ∂ |
|
| ∂r |
|
+ 4π rF = 0 |
. |
| (d1.17) |
Wszystkie trzy równania mają bardzo podobną postać, jedynie w ostatnim jest wyraz opisujący energię przenoszoną przez promieniowanie; niczego podobnego nie ma w dwóch pierwszych równaniach. Jest tak dlatego, ponieważ w naszym przybliżeniu promieniowanie przenosi energię, ale nie moment pędu i masę. Te trzy prawa zachowania mogą być wyrażone w postaci relatywistycznej, a wówczas są wyrazy opisujące moment pędu i masę przenoszone przez promieniowanie. Wyrazy te są wszelako bardzo małe, chyba że przenoszona ilość energii jest porownywalna do c2.
W obrębie przybliżenia cienkiego dysku, niektóre wielkości są funkcjami jedynie promienia: j(r), Ω(r), e(r), podczas gdy pozostałe są funkcjami i promienia, i czasu: Σ(r,t), (r,t), (r,t), (r,t), F(r,t), g(r,t). Biorąc to pod uwagę, równania (d1.15), (d1.16) i (d1.17) można przetransformować do
| 2π r |
|
+ |
| ∂ |
|
| ∂r |
|
= 0 |
, |
| (d1.18) |
| |
|
+ |
|
= 0 |
, |
| (d1.19) |
Zauważmy, że tylko niektóre z pochodnych są cząstkowe. Ostatnie równanie daje
gdzie zostało użyte równanie (d1.9) by zamienić moment siły g przez całkę z lepkości po grubości dysku. Równanie (d1.21) może być zapisane jako
gdzie ∈ jest zdefiniowane w równaniu (d1.10).
Te bardzo ogólne równania można wykorzystać do pokazania, że jeśli dysk rozciąga się pomiędzy dwoma promieniami, r1 i r2, a próżnia jest dla r < r1 oraz r > r2, wówczas lepkość w obrębie dysku będzie miała tendencję do rozciągania dysku na większy zakres promieni. Musimy założyć, że prędkość kątowa Ω zmniejsza się monotonicznie wraz z promieniem, tj. dΩ ⁄ dr < 0 oraz że moment pędu na jednostkę masy wzrasta monotonicznie z promieniem, tj. dj ⁄ dr > 0. Można pokazać, iż są to bardzo ogólne wymagania, spełniane przez wszystkie stabilne dynamicznie, cienkie dyski. Ponieważ jasność powierzchniowa nie może być ujemna, z równania (d1.20) wynika, że i moment siły g nie może być ujemny. Na wewnętrznych i zewnętrznych krawędziach dysku, tj. na r1 i r2, gęstość materii spada do zera, a stąd również wielkość momentu siły musi tam spadać do zera. Dlatego też, na jakimś pośrednim promieniu r1 < rm < r2 moment siły ma maksimum i mamy dg ⁄ dr > 0 dla r1 < r < rm oraz dg ⁄ dr < 0 dla rm < r < r2. Teraz, równanie (d1.19) implikuje, że tempo przepływu masy musi znikać dla r = rm oraz że < 0 dla r1 < r < rm, a > 0 dla rm < r < r2, tj. masa wypływa z r = rm. Oznacza to, że dysk będzie zwiększał swój promień. Można na to zjawisko spojrzeć w inny sposób. Lepkość może redystrybuować moment pędu w materii dysku, ale nie może zmienić całkowitej wartości momentu pędu w izolowanym dysku, ograniczonym promieniami r1 i r2. Ta sam lepkość generuje pewne ciepło kosztem całkowitej energii dysku i ciepło to jest wypromieniowywane. Dlatego też, chociaż całkowita masa i całkowity moment pędu izolowanego dysku są zachowywane, to całkowita energia maleje z czasem. Może to być osiągnięte poprzez rozciągnięcie materii dysku na na większy zakres promieni.
Bardzo ważnym przypadkiem specjalnym jest akrecja stacjonarna, niezależna od czasu, kiedy większość wielkości ją opisujących pozostaje funkcjami jedynie promienia, natomiast jedna — tempo akrecji , pozostaje stała w czasie i promieniu. Gdy moment siły g jest funkcją jedynie promienia, to równanie (d1.19) można scałkować i otrzymać
| g = g0 + (– )(j – j0) |
, |
| (d1.23) |
gdzie g0 jest momentem siły działającym na wewnętrznym promieniu dysku r0, a j0 jest momentem pędu na jednostkę masy w r0. Materia akreuje, gdy vr < 0 i, stosownie do równania (d1.11), < 0. Gdy brak jest momentu siły na wewnętrznym promieniu dysku, a to bardzo powszechna sytuacja, wówczas g0 = i
| g = (– )(j – j0) |
, |
F = (– ) |
|
|
|
|
– |
|
|
, |
| (d1.24) |
(por. równanie (d1.21)). Otrzymaliśmy bardzo ważny wynik: przy stacjonarnej akrecji, jasność powierzchniowa dysku akrecyjnego nie zależy od jego lepkości, lecz jest konsekwencją praw zachowania masy, momentu pędu i energii. Oczywiście jasność powierzchniowa jest proporcjonalna do tempa akrecji. Zauważmy, iż jasność powierzchniowa zbliża się do zera na bardzo wielkich promieniach, jak również na wewnętrznym promieniu dysku r0, ponieważ j = j0. Maksymalna jasność powierzchniowa jest osiągana na pewnych pośrednich promieniach.
Policzymy obecnie całkowitą moc promieniowania, wyświecaną stacjonarny dysk akrecyjny, który rozciąga się od r0 do nieskończoności i spełnia warunek zerowania się momentu sił na r0. Musimy oczywiście dozwolić, by promieniowanie wychodziło z obu stron dysku. Korzystając z równania (d1.24), zmieniając zmienną całkowania i całkując przez części, dostajemy:
| Ld = 2 |
|
2π rFdr = (– ) |
|
|
– |
|
|
(j – j0)dr = |
| (d1.25) |
| = (– ) |
|
(j – j0)dΩ = (– ) |
|
r2ΩdΩ – (– ) j0Ω0 = |
| |
| = (– ) |
 |
|
r2Ω2 |
![]](pics/nawias_kw_math-p.gif) |
|
+ (– ) |
|
Ω2rdr – (– ) v02 = |
| |
| = (– ) |
|
[v02 – v∞2] + (– ) |
|
|
dr – (– ) v02 = |
| |
| = (– ) |
|
– |
|
– Φ0 |
|
= (– ) (– e0) |
, |
| |
gdzie wykorzystaliśmy związki: j = Ωr2, v = Ωr, v∞ = 0 i Φ∞ = 0 oraz gdzie v0 jest prędkością obrotową w r0.
Interpretacja równania (d1.25) jest bardzo prosta: całkowita uwolniona i wypromienio-wana ilość energii jest równa tempu akrecji masy (– ) pomnożonemu przez całkowitą energię na jednostkę masy na orbicie w wewnętrznym dysku, (– e0). e0 jest energią wiązania właściwą, na odległości r0. Pochodzenie energii akrecji jest grawitacyjne. Jednakowoż ilość promieniowania wyemitowana pomiędzy promieniami r a r + dr nie jest równa różnicy energii wiązania pomiędzy tymi dwoma promieniami, ponieważ duża część energii jest redystrybuowana w dysku przez lepkościowe momenty sił.
Rozważymy teraz dwa przypadki specjalne: akrecję z dysku na nierelatywistyczną, nierotującą gwiazdę oraz akrecję na czarną dziurę. W pierwszym przypadku istnieje warstwa graniczna pomiędzy powierzchnią gwiazdy a wewnętrznym promieniem dysku r0. W obrębie tej warstwy prędkość kątowa wzrasta od Ω = 0 w nierotującej gwieździe, aż do Ω = Ω0 na wewnętrznym promieniu dysku. Sądzi się, iż rozciągłość warstwy granicznej jest bardzo mała. Dla większości gwiazd możemy używać newtonowskiego potencjału grawitacyjnego, Φ = – GM ⁄ r, gdzie M jest masą gwiazdy. W tym przypadku, prędkość obrotowa, kątowa, moment pędu na jednostkę masy oraz energia właściwa są dane jako
| v = |
|
|
1 ⁄ 2 |
, |
Ω = |
|
|
1 ⁄ 2 |
, |
j = (GMr)1 ⁄ 2 |
, |
e = – |
|
= |
|
Φ |
. |
| (d1.26) |
Są to tzw. wartości keplerowskie. Jasność powierzchniowa dysku jest dana jako
Jeśli dysk jest optycznie gruby w kierunku z, wówczas promieniuje jak ciało doskonale czarne o temperaturze efektywnej danej standardową zależnością: F = σTeff4. Oczywiście widmo całego dysku nie odpowiada widmu ciała doskonale czarnego, ponieważ temperatura efektywna zmienia się z promieniem.
Całkowita ilość energii wypromieniowanej przez dysk jest opisana wzorem
| Ld = (– ) (– e0) = (– ) |
|
. |
| (d1.28) |
Podczas akrecji poprzez warstwę graniczną, prędkość obrotowa materii musi zostać zredukowana z v0 = (GM ⁄ r0)1 ⁄ 2 aż do zera, podczas gdy odległość radialna w ogóle ledwo się zmienia. Ta energia kinetyczna, v02 ⁄ 2 = GM ⁄ 2r0, musi zostać wypromieniowana. Dlatego też jasność warstwy granicznej (boundary layer):
| Lbl = (– ) |
|
, |
| (d1.29) |
jest równa jasności całego dysku akrecyjnego! Aczkolwiek ponieważ powierzchnia warstwy granicznej jest tak dalece mniejsza od powierzchi dysku, to warstwa ta musi być dużo gorętsza, aniżeli dysk.
Nieco odmienna sytuacja pojawia się, gdy akreująca gwiazda ma bardzo silne pole magnetyczne, które może rozerwać dysk akrecyjny w tzw. promieniu magnetosferycznym rm. W tym przypadku, w rm może istnieć pewien moment siły. Co więcej, część całkowitej energii akrecji uwolnionej w obrębie dysku jest mniejsza, podczas gdy większa część tej energii jest uwolniona pomiędzy promieniem magnetosferycznym a promieniem gwiazdy.
3. Cienki dysk wokół czarnej dziury.
Wielce odmienna sytuacja pojawia się wówczas, gdy dysk akrecyjny otacza czarną dziurę. Pomimo tego, iż detekcja czarnych dziur nie jest w pełni udowodniona, to istnieje wielu dobrych kandydatów na nie wśród gwiazd podwójnych emitujących promieniowanie rentgenowskie. Jedne z nowszych odnośników to: R. Narayan i in. (1997, ApJL, 478, L79); K. Menou i in. (1999, ApJ, 520, 276); R. Sunyaev i M. Revnivtsev (2000, A&A, 358, 617); M.R. Garcia i in. (2000, http://www.aas.org/publications/baas/v32n3/ head2000/404.htm).
Czarna dziura nie ma powierzchni, której można by dotknąć. Ma raczej właściwość taką, że nic, łącznie z promieniowaniem, co dostanie się poniżej tzw. horyzontu, nie może uciec. Czarne dziury mogą mieć masę, moment pędu i ładunek elektryczny. W praktyce czarne dziury, co do których oczekuje się, iż są w układach podwójnych, są elektrycznie neutralne, a ich pole grawitacyjne jest scharakteryzowane jedynie przez dwa parametry: ich masę M i moment pędu J. Jeśli J = 0, wówczas pole grawitacyjne jest sferycznie symetryczne, a geometria przestrzeni w pobliżu takiej czarnej dziury jest opisywana przez metrykę Schwarzschilda. Jej najważniejszą charakterystyką jest istnienie promienia Schwarzschilda, zwanego również promieniem grawitacyjnym, rg ≡ 2GM ⁄ c2, mającego właściwość, iż nic nie może uciec z mniejszej od niego odległości. Wielkość tego promienia można oszacować przy pomocy grawitacji newtonowskiej, kładąc prędkość ucieczki równą prędkość światła. Jest jedynie zbiegiem okoliczności, że bezwymiarowy współczynnik liczbowy „2” okazuje się być tożsamy w grawitacji newtonowskiej i ogólnej teorii względności.
W pełni relatywistyczne potraktowanie akrecji z dysku na czarną dziurę jest bardzo skomplikowane (K.S. Thorne 1974, ApJ, 191, 507; C.T. Cunningham 1975, ApJ, 202, 788; 1976, ApJ, 208, 534). Całkiem niezły model zapewnia potencjał pseudo-newtonowski (P. Wiita i B. Paczyński 1980, A&A, 88, 23). Bardzo istotna różnica pomiędzy polem grawitacyjnym obiektu newtonowskiego a polem czarnej dziury, jest następująca: w przypadku newtonowskim, przyspieszenie grawitacyjne wytwarzane przez masę punktową M staje się nieskończone dla r = 0, podczas gdy to wytwarzane przez czarną dziurę, staje się nieskończone dla r = rg = 2GM ⁄ c2. Najprostszym, acz całkowicie sztucznym, sposobem na wymodelowanie tej sytuacji, jest podmiana newtonowskiego potencjału grawitacyjnego Φ = – GM ⁄ r, na pseudo-newtonowski potencjał grawitacyjny Φ = – GM ⁄ (r – rg). Dla bardzo dużych promieni, r » rg, oba potencjały są niemal tożsame, a różnią się znacznie jedynie dla r ≈ rg. Wszystkie wyrażenia jak te, dane równaniami (d1.3), (d1.4), (d1.6), (d1.7) i (d1.26), możemy zapisać w następujący sposób:
| Ω = |
|
|
1 ⁄ 2 |
|
|
|
|
, |
|
= – |
|
|
|
|
1 ⁄ 2 |
|
|
| (r – 1 ⁄ 3 rg)r |
|
| (r – rg)2 |
|
|
, |
| (d1.32) |
| j = (GMr)1 ⁄ 2 |
|
|
|
|
, |
| (d1.33) |
gdzie wszystkie formuły są zapisane jak ich odpowiedniki newtonowskie, pomnożone przez współczynniki korygujące umieszczone w nawiasach kwadratowych. Rozkład jasności powierzchniowej stacjonarnego dysku akrecyjnego, może być zapisany jako
| F = (– ) |
|
|
|
|
|
|
1 – |
|
|
1 ⁄ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 – |
|
|
|
, |
| (d1.35) |
co również zostało ujęte w sposób możliwie najbardziej podobny do odpowiednika newtonowskiego. Wybór wewnętrznego promienia jako r0 = 3rg, zostanie pokrótce wyjaśniony poniżej.
Między newtonowskimi i pseudo-newtonowskimi wyrażeniami na całkowitą energię właściwą istnieje bardzo uderzająca różnica, co pokazują równania (d1.7) i (d1.34): wyrażenie newtonowskie zmienia się monotonicznie z promieniem i jest zawsze ujemne; pseudo-newtonowskie jest ujemne dla r > 2rg i dodatnie dla r < 2rg. Jest to dokładnie tak samo, jak w pełni relatywistycznym potraktowaniu dynamiki cząstki próbnej poruszającej się wokół czarnej dziury. Nawet współczynnik liczbowy „2” jest taki sam!
Przeanalizujmy zmianę momentu pędu na jednostkę masy z promieniem. Różniczkując równanie (d1.33) dostajemy
Równanie to pokazuje, że dj ⁄ dr > 0 dla r > 3rg i dj ⁄ dr < 0 dla r < 3rg, tj. moment pędu na jednostkę masy ma ninimum dla r = 3rg. Czyli znów identycznie jak w przypadku w pełni relatywistycznym, łącznie z tożsamym współczynnikiem bezwymiarowym „”. Istnienie minimalnego momentu pędu, jaki może mieć cząstka próbna na orbicie kołowej, odciska bardzo istotne piętno na dynamice dysków akrecyjnych. Rotacja różniczkowa ma zawsze taki sam znak tak w przypadku newtonowskim, jak i pseudo-newtonowskim, ponieważ dΩ ⁄ dr < 0 dla wszystkich promieni. Oznacza to, że lepkość unosi moment pędu zawsze na zewnątrz, ponieważ wewnętrzne części dysku rotują gwałtowniej, aniżeli zewnętrzne. Dlatego też, każda cząstka materii, stopniowo traci swój moment pędu podczas akrecji. Aczkolwiek, gdy dostanie się na orbitę o promieniu r = 3rg i traci jeszcze więcej momentu pędu, wówczas nie ma już żadnej innej dostępnej orbity kołowej. Tak więc dysk akrecyjny ma naturalny promień wewnętrzny: r0 = 3rg. Z tego miejsca materia spada swobodnie na czarną dziurę.
Całkowita moc promieniowana wyświecona przez dysk akrecyjny może być obliczona poprzez scałkowanie jasności powierzchniowej danej równaniem (d1.35), po wszystkich promieniach od r0 do nieskończoności. Wynik jest następujący
| Ld = (– )e0 = (– ) |
|
, |
| (d1.37) |
gdzie równanie (d1.34) wykorzystano do policzenia e0. Znaleźliśmy zatem, iż podczas akrecji na schwarzschildowską czarną dziurę, materia wypromieniowuje 1 ⁄ 16 energii swej masy spoczynkowej, co jest niemal zbieżne z prawidłową wartością relatywistyczną. Jest to dużo więcej energii w stosunku do tej, jaka może być uwolniona w jakiejkolwiek rekacji jądrowej, co więcej nie ma znaczenia skład chemiczny akreującej materii, ani też jaka jest masa samej czarnej dziury. Z tego też powodu akrecja na czarną dziurę jest sugerowana zawsze wtedy, gdy astrofizyka natyka się najwyraźniej na jakiś kolejny przypadek kryzysu energetycznego.
Rozważmy teraz stabilność ruchu cząstki próbnej na orbicie kołowej w arbitralnym, sferycznie symetrycznym potencjale Φ(r). Rozmaite wielkości dla orbity kołowej są dane równaniami (d1.3) – (d1.7). W ogólności trajektoria cząstki może nie być kołowa, a jej prędkość może składać się z dwóch składników: vr = dr ⁄ dt i vφ = rdφ ⁄ dt, gdzie φ jest kątem azymutalnym w cylindrycznym układzie współrzędnych. Istnieją dwie stałe ruchu w tym problemie: moment pędu i energia całkowita:
| j0 = rvφ |
, |
e0 = |
|
(vφ2 + vr2) + Φ |
. |
| (d1.38) |
Dla cząstki na ściśle kołowej orbicie mamy vr = 0. Rozważmy obecnie małe zaburzenie ruchu cząstki, przy zachowaniu momentu pędu i całkowitej energii. Dwa równania (d1.38) można połączyć by otrzymać
Znajdźmy zależność prędkości radialnej od zmiany promienia Δr, przy zachowaniu stałości ∈0 i j0. Możemy rozwinąć uzyskaną zależność w szereg potęgowy
| vr2 = (vr2)0 + |
|
|
0 |
Δr + |
|
|
|
|
0 |
(Δr)2 + … |
. |
| (d1.40) |
Indeks „0” odnosi się do wartości obliczonych z równania (d1.39) dla Δr = 0, tj. na orbicie kołowej odpowiadającej ∈0 i j0.
Pierwszy wyraz szeregu potęgowego znika, ponieważ na orbicie kołowej vr = 0. Drugi wyraz można wyliczyć z równania (d1.39) jako
gdzie wykorzystano równanie (d1.6) do zamiany pochodnej Φ na moment pędu na jednostkę masy j. Oczywiście, na orbicie kołowej j = j0, a drugi wyraz rozwinięcia (d1.40) znika. Wyraz trzeci można wyliczyć różniczkując równanie (d1.41)
Na orbicie kołowej, pierwszy wyraz po prawej stronie równania (d1.42) znika, ale nie drugi. Możemy teraz zapisać równanie (d1.40) jako
Równanie to ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy dj ⁄ dr < 0. W przeciwnym wypadku brak jest rozwiązania. Oznacza to, iż dla dj ⁄ dr > 0 brak jest trajektorii cząstek o danym ∈0 i j0, innych niż początkowa orbita kołowa. Dlatego też, orbita jest stabilna, jeśli moment pędu wzrasta wraz z promieniem. Aczkolwiek, jeśli moment pędu zmniejsza się z promieniem, wówczas wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z obu stron równania (d1.43) i uzyskać
| vr ≡ |
|
= |
|
= ± |
|
– |
|
|
|
1 ⁄ 2 |
Δr |
, |
|
< 0 |
. |
| (d1.44) |
Ostatnie równanie można scałkować i otrzymać
| Δr = (Δr)0exp |
|
± |
|
– |
|
|
|
1 ⁄ 2 |
(t – t0) |
|
, |
|
< 0 |
. |
| (d1.45) |
Znajdujemy zatem, że gdy dj ⁄ dr < , to istnieją takie trajektorie, które odchodzą eksponen-cjalnie od orbit kołowych, lecz utrzymują wartości całkowitej energii ∈0 i momentu pędu j0 takie same, jakie były na orbicie kołowej. Wynika z tego, że orbity kołowe są niestabilne, gdy moment pędu maleje wraz ze zmniejszaniem się promiena i wszystkie orbity wokół czarnej dziury o promieniach mniejszych niż 3rg są niestabilne. Orbita o promieniu rms = 3rg jest marginalnie stabilna, a większe orbity są stabilne. Oto powód, dlaczego cienkie dyski nie mogą się rozciągać poniżej rms.
4. Struktura pionowa cienkiego dysku.
Zajmiemy się teraz bardzo cienkimi dyskami o małej, lecz skończonej rozciągłości w pionie, tj. w kierunku z. Jakikolwiek dysk o skończonej powierzchniowej gęstości masy musi mieć skończone ciśnienie, które sprawia, iż jego grubość jest także skończona. Rozważmy dysk o zaniedbywalnej masie i zaniedbywalnej samograwitacji. Pionowy gradient ciśnienia musi być zbilansowany przez pionowy gradient potencjału grawitacyjnego centralnego masywnego obiektu. Równanie równowagi hydrostatycznej w kierunku z, może być zapisane jako
gdzie zauważamy, iż R = (r2 + z2)1 ⁄ 2. Ponieważ R ≈ r dla |z ⁄ r| « 1, dlatego możemy połączyć równania (d1.4) oraz (d1.46) i otrzymać
|
|
|
|
|
r |
= – Ω2z |
, |
| (d1.47) |
gdzie prędkość kątowa Ω praktycznie nie zmienia się wraz z z. Dlatego też przyspieszenie grawitacyjne w kierunku pionowym jest proporcjonalne do z.
Zajmijmy się następnie prostą, politropową zależnością dla dysku, z
| P = Kρ1 + 1 ⁄ n |
, |
K = const |
, |
n = const |
. |
| (d1.48) |
Po wstawieniu (d1.48) do (d1.47), możemy scałkować równanie równowagi hydrostatycz-nej we współrzędnej z i otrzymać
| K(n + 1)ρ1 ⁄ n = |
|
Ω2 (z02 – z2) |
, |
| (d1.49) |
gdzie z0 jest odległością od płaszczyzny równikowej do powierzchni dysku. Politropowa prędkość dźwięku jest dana jako
Łącząc równania (d1.49) i (d1.50), mamy
Prędkość dźwięku znika na powierzchni, zaś na równiku mamy
| vs,e = (2n)– 1 ⁄ 2 Ωz0 = (2n)– 1 ⁄ 2 v |
|
= (2n)– 1 ⁄ 2 Ωz0 |
, |
| (d1.52) |
czyli stosunek vs,e ⁄ vφ jest mniej więcej równy z0 ⁄ r, a prędkość dźwięku w cienkim dysku jest dużo mniejsza, aniżeli prędkość obrotowa.
Jak wskazują obserwacje, istnieje wiele układów podwójnych z jasnymi dyskami akrecyjnymi. Oznacza to, iż panuje w nich bardzo duża lepkość. Jej natura nie jest znana. Podejrzewa się, iż jest ona wynikiem działania turbulencji lub półmagnetycznych, jednakże w praktyce trzeba ją traktować jako swobodny parametr jakiegokolwiek teoretycznego modelu dysku.
Wyobraźmy sobie, iż dysk składa się z cząstek, których gęstość masy uśredniona po objętości wynosi ρ, prędkości w ruchu bezwładnym — vp, nałożone na keplerowską rotację całego dysku, a średnia odległość jaką przebywają pomiędzy zderzeniami, to λp. Lepkość w takim systemie można opisać jako
Największa prędkość, jaką może osiągnąć cząstka (lub zgęstek gazu), to prędkość dźwięu, a największa średnia odległość, jaką może przebyć w kierunku radialnym z takąż prędkością, jest w przybliżeniu równa grubości dysku 2z0. Stąd też maksymalna lepkość, jaką może mieć materia dysku, to
| ηmax = |
|
ρvs2z0 ≈ ρz02Ω ≈ |
|
≈ Σvs |
, |
| (d1.54) |
a rzeczywista lepkość może być sparametryzowana jako
Jest to podstawa tzw. modelu dysku alfa (lub dysku Shakury – Suniajewa).
Możemy wykorzystać model dysku alfa do oszacowania prędkości radialnej materii w dysku akrecyjnym. W oszacowaniu tym będziemy podmieniać pochodne na stosunki odpowiadających im wielkości, np. – dΩ ⁄ dr ≈ Ω ⁄ r. Możemy połączyć równania (d1.9), (d1.54) i (d1.55), by uzyskać
| g ≈ 2π r2 Ω |
|
ηdz ≈ 2πjαΣvsz0 |
. |
| (d1.56) |
Łącząc równania (d1.11) i (d1.19) mamy
| = 2π rvrΣ ≈ |
|
. |
| (d1.57) |
Na koniec, łącząc równania (d1.56) i (d1.57), otrzymujemy
czyli prędkość radialna jesto wiele mniejsza od prędkości dźwięku w cienkim dysku, nawet dla α = 1.
5. Akrecja.
Akrecja w dysku jest poddźwiękowa na zewnątrz orbity marginalnie stabilnej, tj. |vr| < vs dla r > rms (por. równ. d1.58), a gaz porusza się do wewnątrz po bardzo ciasnej spirali z |vφ| » |vr|. Zmienia się to w pobliżu wewnętrznej krawędzi dysku, tj. w pobliżu orbity marginalnie stabilnej, rms. Nie ma stabilnych orbit dla r < rms, a gaz spada swobodnie na czarną dziurę po trajektorii, dla której dwie stałe ruchu (por. równ. d1.33 i d1.34):
| j2 = jms2 = |
|
, |
e = ems = – |
|
. |
| (d1.59) |
Prędkość radialną poniżej rms można policzyć rozwijając równanie (d1.38) w szereg potęgowy i pozostawiając główny wyraz:
| vr = |
|
c |
|
|
1.5 |
. |
| (d1.60) |
Widać wyraźnie, że prędkość radialna gwałtownie wzrasta z malejącym promieniem dla r < rms i staje się naddźwiękowa. Dlatego też, w pobliżu wewnętrznej krawędzi dysku, w r ≈ rms, musi istnieć punkt dźwiękowy, gdzie |vr| = vs. Przejście od przepływu poddźwiękowego do naddźwiękowego jest średnio skomplikowane, a struktura przepływu zależy od parametru 'alfa', tj. od mocy procesów odpowiedzialnych za transport momentu pędu.
Autor: prof. Bohdan Paczyński
Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski
|
|
