Spis
treści
Spis
wykładów
|
|
|
|
Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 1.00
|
III. Całkowanie numeryczne.
W większości interesujących przypadków, równania struktury gwiazdy nie mogą być scałkowane analitycznie. Zamiast tego, należy przeprowadzić całkowania numeryczne. Z szybkimi i niedrogimi komputerami jest to rzecz prosta do zrobienia. Można zajrzeć do książki „Procedury numeryczne” W. Pressa i in., gdzie jest wiele praktycznych i dokładnych technik całkowania numerycznego. Tutaj zaprezentujemy bardzo elementarny ich opis. W wielu przypadkach nie będzie potrzebne nic więcej.
1. Jedno równanie, metoda jawna
Rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne, pierwszego rzędu
z warunkiem początkowym
Najprostsza technika całkowania numerycznego jest następująca. Wybieramy krok całkowania δx. Obliczamy pochodną w punkcie startowym, f(x0, y0) i liczymy zmianę zmiennych x i y z krokiem całkowania:
| y1 = y0 + f(x0, y0) × δx |
. |
| |
Możemy powtórzyć tę procedurę tyle razy, ile chcemy. Przypuśćmy, że znamy już wartości x i y po „k” krokach całkowania, tj. znamy xk i yk. Możemy obliczyć xk+1 i yk+1 zgodnie z
| yk+1 = yk + f(xk, yk) × δx |
. |
| |
Jest to najprostszy możliwy schemat całkowania. Nie jest zbyt dokładny, lecz jeśli wielkość kroku δx jest wystarczająco mała, wówczas możemy osiągnąć tak wysoką dokładność, jak chcemy, przynajmniej w teorii. W praktyce nie będzie to zbyt wydajne, ponieważ ilość kroków może być niedostępnie duża, jeśli są one bardzo małe. Dokładność może być oszacowana następująco. Drugie z dwóch równań (ni.3) będzie dokładne, jeśli pochodna f(x, y) byłaby obliczona w odpowiednim punkcie pomiędzy xk a xk+1. Aczkolwiek, nie znamy położenia tego punktu; zamiast tego rozwijamy rozwiązanie w szereg Taylora w punkcie (xk, yk) i zostawiamy jedynie dwa pierwsze wyrazy. Największy pominięty wyraz jest rzędu (δx)2. Bardziej dokładna technika powinna ten wyraz uwzględniać. Może to być zrobione na wiele sposobów. Najprostszą jest metoda Runge-Kutta drugiego rzędu, według której obliczamy pochodną f(x, y) dwa razy, obliczając jeden krok całkowania. Po pierwsze, wykonujemy pół kroku:
| yk+1/2 = yk + 0.5 × f(xk, yk) × δx |
. |
| |
Następnie, liczymy pochodną w środku kroku i wykonujemy pełen krok:
| yk+1 = yk + f(xk+1/2, yk+1/2) × δx |
. |
| |
W tej metodzie błąd jest rzędu (δx)3, czyli jest dużo mniejszy, aniżeli w pierwszej technice.
Jest wiele innych, dokładniejszych metod. Jedną z nich jest metoda Runge-Kutta czwartego rzędu, w której pochodna f(x, y) jest liczona 4 razy w każdym kroku całkowania, a błąd jest rzędu (δx)5. Jest także wiele sposobów na oszacowanie dokładności dowolnej metody. Najprostszy sposób to wykonanie calkowań z dwiema różnymi wielkościami kroku. Różnica w wynikach jest w przybliżeniu równa błędowi. Jeśli chcemy mieć dokładniejsze wyniki, możemy używać mniejszego kroku całkowania δx lub schematu całkowania wyższego rzędu.
Czasami wyniki są numerycznie niestabilne, a branie mniejszej wielkości kroku nie pomaga. Zdarza się to zazwyczaj, gdy pochodna f(x, y) jest różnicą dwóch wielkich i niemal równych wyrażeń. Fizycznie może to oznaczać, że te dwa wyrażenia opisują tempa przeciwnych reakcji, jak jonizacja i rekombinacja, które są niemal równe sobie, tj. jesteśmy bliscy równowadze. Jeśli jakiś parametr, np. temperatura, np. temperatura, zmienia się powoli, równowaga zmienia się powoli również, podczas gdy te dwie reakcje mogą przebiegać bardzo gwałtownie w dwóch przeciwnych kierunkach. Nie ma jakiegokolwiek sensu w takim przypadku obieranie bardzo małego kroku czasowego, jak również długi krok czasowy połączony ze schematem całkowania jak ten, dany równaniem (ni.4), mogą być niestabilne. W tej technice pochodne obliczamy w początku i/lub w środku kroku. Jest to nazywane metodą jawną. Okazuje się, że zamiast tego możemy być zmuszeni do użycia metody niejawnej, w której liczymy pochodną na końcu kroku.
2. Jedno równanie, metoda niejawna
Oto prosty przykład niejawnego całkowania numerycznego. Po pierwsze, liczymy pochodną na początku kroku i szacujemy wartości zmiennych na końcu kroku:
| yk+1,old = yk + f(xk, yk) × δx |
. |
| |
Oczywiście, xk+1 jest tym czego potrzebujemy, lecz yk+1,old jest jedynie oszacowaniem. Chcemy, by yk+1 spełniał następujące równanie:
| yk+1 = yk + f(xk+1, yk+1) × δx |
. |
| (ni.6) |
Zauważmy, iż wielkość, której szukamy, yk+1, jest po lewej stronie, jak i po prawej stronie równania (ni.6). Aczkolwiek, jeśli funkcja f(x, y) jest nieliniowa, to w ogólności nie możemy rozwiązać tego równania analitycznie. Możemy natomiast użyć techniki Newtona-Raphsona. Zapiszemy nasze równanie w postaci
| F(yk+1) ≡ yk+1 - yk - f(xk+1, yk+1) × δx = 0 |
. |
| (ni.7) |
Naszym pierwszym przybliżeniem jest yk+1 ≈ yk+1,old. Podstawiamy to do równania (ni.7) i oczywiście powinniśmy znaleźć, że F(yk+1,old) nie jest równa zero. Dlatego też, rozwijamy to w szereg Taylora i pozostawiamy dwa pierwsze wyrazy, by otrzymać
| F(yk+1,old) + |
 |
|
 k+1,old |
δy = 0, |
| (ni.8) |
i możemy znaleźć nową, poprawioną wartość yk+1 stosownie do
| yk+1,new = yk+1,old + δy = yk+1,old - F(yk+1,old) ⁄ |
|
|
k+1,old |
, |
| (ni.9) |
gdzie
|
|
k+1,old |
= 1 - |
|
|
k+1,old |
δx, |
| (ni.10) |
Nowa wartość yk+1,new może być wykorzystana do obliczenia wartości F(y) i sprawdzenia jak jest to bliskie zeru. W ogólności, możemy chcieć powtórzyć iterację tak wiele razy, ile jest to niezbędne, by uczynić F = 0 z żądaną dokładnością. Kiedy jest to osiągnięte, ukończony jest krok całkowania numer „k+1”. Schemat całkowania niejawnego jest skomplikowany, powolny i jedynie pierwszego rzędu, tj. błędy są rzędu (δx)2. Nie powinien być wykorzystywany, chyba że nie działa metoda jawna.
3. Wiele równań, metoda jawna
W ogólności, możemy mieć więcej niż jedno zwyczajne równanie różniczkowe, lub możemy mieć równania różniczkowe wyższego rzędu. Dowolne równanie wyższego rzędu może być zawsze zamienione przez zbiór równań pierwszego rzędu, więc powinniśmy się ograniczyć jedynie do tego przypadku. Wyobraźmy sobie, że mamy n równań różniczkowych nieliniowych, pierwszego rzędu, które zapiszemy w postaci
|
|
= fi(xj) |
, |
i = 1, 2, 3, …n, n + 1 |
, |
j = 1, 2, 3, …n, n + 1 |
, |
| (ni.11) |
| fi(xj) ≡ fi(x1, x2, x3, …, xn, xn+1) |
. |
| |
Zauważmy, że jest n + 1 równań (ni.11), ponieważ traktujemy zmienną niezależną x1 w taki sam sposób, jak n zmiennych niezależnych, x2, x2, …, xn, xn+1; jest to wygodne z numerycznego punktu widzenia.
Możemy chcieć wybrać kroka calkowania tak, żeby żadna ze zmiennych xi nie zmieniała się o więcej niż δi,max. Wybór wielkości kroku może być dokonany na początku każdego kroku całkowania poprzez obliczenie wszystkich pochodnych i wyliczenie δx1 zgodnie z
| δxi = fi × δx1 ≤ δi,max |
, |
i = 2, 3, 4, …n, n + 1 |
, |
| |
czyli
| δx1 = min |
 |
δ1,max, |
|
![]](pics/nawias_kw_math-p.gif) |
, |
i = 2, 3, 4, …n, n + 1 |
. |
| (ni.13) |
Teraz, gdy krok całkowania został wybrany, możemy wykorzystać metodę Runge-Kutta drugiego rzędu, by wykonać krok całkowania. Będziemy korzystać z indeksu „k” na wskazanie wartości wszystkich zmiennych na początku kroku, indeksu „k + 1/2” w środku kroku oraz „k + 1” na końcu kroku. Wygodnie będzie zdefiniować
Wykonujemy krok całkowania następująco:
| xi,k+1/2 = xi,k + 0.5 × fi,k × δx1 |
, |
i = 1, 2, 3, …n, n + 1 |
, |
| (ni.15) |
| xi,k+1 = xi,k + fi,k+1/2 × δx1 |
, |
i = 1, 2, 3, …n, n + 1 |
, |
| (ni.16) |
gdzie
| fi,k = fi(xj,k) |
, |
fi,k+1/2 = fi(xj,k+1/2) |
, |
i, j = 1, 2, 3, …n, n + 1 |
. |
| (ni.17) |
W ten sposób ukończony został krok całkowania i możemy przejść do wyboru wielkości kolejnego kroku, zgodnie z równaniem (ni.13), z indeksem „k” zastąpionym przez „k + 1”.
4. Wiele równań, metoda niejawna
Jeśli musimy skorzystać z metody niejawnej, wówczas wybór wielkości kroku całkowania może być dokonany w ten sam sposób, jak dla schematu jawnego, tj. z równania (ni.13). Mając wielkość kroku, δx1, dokonujemy oszacowania wszystkich zmiennych na końcu kroku
| xi,k+1 = xi,k + fi,k+1 × δx1 |
, |
i = 1, 2, 3, …n, n + 1 |
. |
| (ni.18) |
Definiujemy
| Fi ≡ xi,k+1 - xi,k - fi,k+1 × δx1 |
, |
i = 2, 3, …n, n + 1 |
, |
| (ni.19) |
gdzie
| fi,k+1 = fi,k+1(xj,k+1) |
, |
i, j = 1, 2, 3, …n, n + 1 |
, |
| (ni.20) |
są pochodnymi (tj. prawymi stronami równań różniczkowych), obliczonymi w końcu kroku całkowania. Nie musimy uwzględniać w tych rozważaniach f1, gdyż jest to stała, f1 = 1, a F1 ≡ 0.
Rzecz jasna, chcielibyśmy mieć Fi ≡ 0, a oczywiście nie będzie to osiągnięte w pierwszej przymiarce, wynikającej z równań (ni.18). Dlatego też, rozwijamy Fi w szereg Taylora i pozostawiamy jedynie wyrazy liniowe. W ogólności fi zależy od wszystkich zmiennych xj i mamy
| Fi + |
|
|
δxj = 0 |
, |
i, = 2, 3, …n, n + 1 |
, |
| (ni.21a) |
|
|
= δi,j - |
|
δx1, |
i, j = 2, 3, …n, n + 1 |
, |
| (ni.21b) |
| δi,j = 1 |
dla i = j δi,j = 0 dla i ≠ j |
. |
| (ni.21c) |
Jest to n równań liniowych o n niewiadomych, tak więc mogą one być rozwiązane przy wykorzystaniu standardowych technik odwracania macierzy i możemy obliczyć poprawione wartości wszystkich zmiennych w końcu kroku całkowania
| xi,k+1,new = xi,k+1,old + δxi |
, |
i = 2, 3, …n, n + 1 |
. |
| (ni.22) |
Korzystając z tych nowych wartości, możemy policzyć nowe wartości Fi i przyrównać je do zera. Jeśli są one zbyt różne od zera, wówczas musimy powtórzyć iterację, policzyć nowe poprawki i tak dalej, aż wszystkie Fi i wszystkie poprawki δxi są wystarczająco bliskie zeru.
Proces iteracji może być zbieżny, lub też nie. Jest wiele sposobów modyfikacji techniki, jeśli iteracje w niejawnym schemacie całkowania nie są zbieżne. Czasami musimy obrać większy lub mniejszy krok całkowania. Czasem też należy zmniejszyć wszystkie poprawki δxi o ten sam czynnik. Można to zinterpretować następująco. Szukamy rozwiązania n równań Fi = 0 w n wymiarowej przestrzeni. Zgadujemy rozwiązanie — n współrzędnych xi,k+1,old. Wektor poprawek δxi wskazuje ku poszukiwanemu rozwiązaniu, lecz jeśli użyjemy jego całej wielkości, możemy „przeholować”. W takim przypadku zmniejszamy długość wektora poprawki, podczas gdy zachowujemy jego kierunek. Dokonujemy tego dzieląc wszystkie poprawki przez tę samą liczbę. Spowolni to proces zbieżności, lecz może zwiększyć zakres, w którym iteracje są zbieżne. Czasami, zamiast używać ustalonego czynnika redukcji, możemy żadać by żadna z poprawek nie przewyższała pewnej maksymalnej wartości, δxi,max i zmniejszamy wszystkie poprawki o ten sam czynnik wybrany tak, by żadna poprawka nie przekraczała swej dozwolonej granicy. Jest to podobne do metody, wykorzystanej do wybrania wielkości kroku całkowania.
5. Proste modele gwiazdowe — białe karły.
Niektóre modele gwiazdowe, na przykład politropy i białe karły, są opisane dwoma zwyczajnymi równaniami różniczkowymi, które mogą być zapisane w postaci bezwymiarowej. Równania mają jeden parametr swobodny: odpowiednio indeks politropy n oraz bezwymiarową energię Fermiego w centrum. Jeśli obierzemy wartość któregokolwiek z tych parametrów, wówczas warunki w centrum mogą być traktowane jako warunki początkowe dla całkowania, przeprowadzanego od centrum do powierzchni, zdefiniowanej dla promienia, w którym znika gęstość. Jako przykład możemy wziąć przypadek białych karłów, które mają strukturę opisaną równaniami
Bezwymiarowe zmienne x1, x2 i x3, są zdefiniowane przez:
| r ≡ αrx1 |
, |
Mr ≡ αmx2 |
, |
1 + x2 ≡ x3 |
. |
| (ni.24) |
gdzie Mr jest masą w obrębie warstwy o promieniu r, a x = pF / mc jest bezwymiarowym pędem Fermiego. Dwa parametry skalujące, to
| αr = |
|
|
½ |
|
= 5.455 × 108μe-1 (cm) = 0.00784 R μe-1 |
, |
| (ni.25a) |
| αm = |
|
|
|
|
1.5 |
|
= 2.00 × 1033μe-2 (g) = 1.005 Mμe-2 |
, |
| (ni.25b) |
Warunki brzegowe to
| x3 = x3,c |
, |
x2 = 0 |
, |
w |
x1 = 0 |
, |
(wewnętrzne warunki brzegowe) |
| (ni.26a) |
| x3 = 1 |
, |
x2 = x2,s |
, |
w |
x1 = x1,s |
, |
(zewnętrzne warunki brzegowe) |
| (ni.26b) |
gdzie x3,c jest wartością w centrum wielkości x3, a x2,s oraz x1,s są wartościami powierzchniowymi, odpowiednio bezwymiarowej masy i promienia. Gęstość centralna, całkowita masa i promień białego karła, są dane jako
| ρc = 0.981 × 106μe(x3,c - 1)1.5 (g cm-3) |
, |
M = αmx2,s |
, |
R = αrx1,s |
, |
| (ni.27) |
gdzie μe = 2 / (1 + X) jest średnią ilością nukleonów na elektron, a X jest obfitością wodoru, w sensie ułamka masy.
Obierzmy x3,c za parametr swobodny i wykorzystajmy wewnętrzne warunki brzegowe (ni.26a) jako warunki początkowe. Jest jeden problem techniczny w centrum: x1 = 0 i x2 = 0 równocześnie, więc nie można policzyć prawej strony równania (ni.23b). Jest to typowy problem: nie możemy rozpocząć całkowań numerycznych w samym centrum. Należy rozwinąć rozwiązanie równań różniczkowych w szereg potęgowy i policzyć analitycznie wartości wszystkich zmiennych w pobliżu centrum, w małej, lecz skończonej odległości. Dwa pierwsze wyrazy rozwinięcia, to:
| x2 = |
|
xc3x13 - |
|
x3,c1/2xc4x15 |
, |
| (ni.28a) |
| x3 = x3,c - |
|
x3,c1/2xc3x12 |
, |
| (ni.28b) |
gdzie
| xc2 ≡ x3,c - 1 |
, |
ρc = Aμexc3 = 0.981 × 106 μexc3 (g cm-3) |
, |
| (ni.29) |
a ρc jest gęstością centralną. Należy zweryfikować to rozwiązanie poprzez wstawienie równań (ni.28) do (ni.23).
By rozwinięcie było dokładne, żądamy aby drugi wyraz był dużo mniejszy niż pierwszy, w obu równaniach (ni.28). Może być to wykorzystane jako kryterium wyboru x1 w rozwinięciu, tj. jak duży powinien być promień najgłębszej sfery objętej rozwinięciem analitycznym. Kiedy jest już dokonany wybór x1, możemy użyć równań (ni.28) do policzenia x2 i x3. Teraz możemy rozpocząć całkowanie numeryczne od tego punktu. Kontynuujemy całkowanie, aż x3 staje się mniejsze od 1 na końcu jakiegoś kroku całkowania. Możemy interpolować pomiędzy początkiem a końcem tego kroku, by znaleźć miejsce, w którym x3 = 1, tj. możemy znaleźć powierzchnię białego karła. Można teraz wykorzystać równania (ni.27) do policzenia masy gwiazdy i jej promienia, jak również gęstości centralnej, w jednostkach fizycznych.
6. Warunki początkowe, warunki brzegowe.
Wyobraźmy sobie teraz, że zamiast wybierać jako parametr swobodny wartość centralną x3, co jest równoważne wyborowi gęstości centralnej ρc, obraliśmy całkowitą masę gwiazdy M, lub całkowity promień gwiazdy R, ustaliliśmy jego wartość i próbowaliśmy rozwiązać równania struktury (ni.23). Tym razem nie wiedzielibyśmy jaka powinna być wartość x3,c, czyli ρc i musielibyśmy pozostawić x3,c jako dopasowywalny parametr w wewnętrznym warunku brzegowym, podczas gdy inny warunek, np. ustalona M, byłby dany na powierzchni, tj. jako zewnętrzny warunek brzegowy. Tym razem byłoby dużo trudniej znaleźć rozwiązanie, ponieważ musialoby ono spełniać dwa warunki brzegowe na dwóch przeciwnych końcach przedziału całkowania. Proste, jednokierunkowe całkowanie, które było możliwe, gdy mieliśmy warunki początkowe zadane w centrum, nie byloby wystarczające. Niezbędnych byłoby wiele próbnych całkowań.
W wielu przypadkach nie jesteśmy zainteresowani jednym modelem gwiazdowym z jakąś określoną wartością masy lub gęstości centralnej, lecz raczej szeregiem modeli obejmujących wielki zakres tych parametrów. W takim przypadku, nie jest ważne, który parametr, całkowita masa M, czy też gęstość centralna ρc jest obrany jako parametr, który rozróżnia modele. Powinniśmy wybrać ten, który jest wygodniejszy. W naszym przypadku w sposób oczywisty wygodniej jest wybrać gęstość centralną białego karła. W tym przypadku, rozwiązujemy problem wartości początkowej, a cała struktura i masa całkowita każdego modelu wynika z pojedynczego całkowania numerycznego. Jeśli natomiast jako parametr, który określa modele białyvh karłów, jest wybrana całkowita masa, wówczas dla każdego modelu musimy rozwiązać problem wartości brzegowej, co wymaga wielu iteracyjnych całkowań dla każdego modelu.
7. Gwiazdy ciągu głównego wieku zerowego (ZAMS) — metoda dopasowania.
Gwiazdy ciągu głównego wieku zerowego, są zdefiniowane jako gwiazdy, które już zapaliły wodór, a jego spalanie wytwarza tyle energii, ile jest wypromieniowywanej z powierzchni, brak jednakowoż pomniejszenia pierwotnej zawartości wodoru. Gwiazdy te znajdują się w równowadze termicznej i hydrostatycznej, są chemicznie jednorodne i posiadają pierwotny skład chemiczny materii międzygwiazdowej, z której właśnie co powstały. Rzecz jasna, wymagania takie nie mogą być ściśle spełnione, wszystkie jednocześnie, lecz wygodnie jest używać ich do definiowania uproszczonych, ale użytecznych typów modeli gwiazdowych.
Problem jest sformułowany następująco. Definiujemy skład chemiczny. W najprostszym przypadku, wybieramy zaledwie dwa parametry: X oraz Z. X jest obfitością wodoru, a Z — pierwiastków ciężkich, w sensie ułamka masy. Obfitość helu to Y = 1 - X - Z. Chcemy znaleźć rozwiązanie czterech równań struktury gwiazdowej, dla danej całkowitej masy gwiazdy M. Owe cztery równania mogą być zapisane jako
|
|
= |
|
 T |
|
, |
| (ni.30a) |
|
|
= |
|
ρ |
|
, |
| (ni.30b) |
gdzie
| rad ≡ |
|
|
|
. |
| (ni.31c) |
a ∈, κ, P, ad, są w założeniu znanymi funkcjami temperatury, gęstości i składu chemicznego.
Cztery równania (ni.30) muszą być uzupełnione warunkami brzegowymi. Te zaś mogą być zapisane jako:
| ρ = 10-12(g cm-3) |
, |
T = |
|
|
1/4 |
(K), |
w |
Mr = M |
, |
| (ni.32a) |
oraz
| r = 0 |
, |
Lr = 0 |
, |
w |
Mr = 0 |
. |
| (ni.32b) |
Są to zewnętrzne warunki brzegowe (ni.32a) oraz wewnętrzne warunki brzegowe (ni.32b). Mamy dwa dopasowywalne parametry na powierzchni: promień gwiazdy i moc promieniowania, R i L oraz dwa dopasowywalne parametry w centrum: centralną temperaturę i gęstość, Tc i ρc.
Jest to zaiste problem wartości brzegowej, którego nie można zredukować przy pomocy żadnego triku do jakiegokolwiek problemu wartości początkowej. Musi być rozwiązany poprze całkowanie czterech równań struktury gwiazdowej od powierzchni w głąb, do pewnego punktu zszycia w Mr = Mf oraz całkowanie tych samych równań od centrum do Mf i na koniec próbę dopasowania dwóch zbiorów całkowań w punkcie zszycia. W centrum, równania struktury gwiazdowej cierpią na ten sam problem, co równania dla przypadku bialego karła: prawe strony równań (ni.30a), (ni.30b) i (ni.31a) są typu 0 / 0 w centrum. Przeto musimy wykonać tam analityczne rozwinięcie w celu rozpoczęcia całkowania numerycznego. Ogólne podejście do procedury dopasowania jest następujące.
Rozważmy model gwiazdowy w równowadze hydrostatycznej i termicznej, z określoną masą całkowitą M i profilem składu chemicznego X(Mr). Cztery równania różniczkowe opisujące strukturę gwiazdową, mogą być zapisane w postaci
gdzie x0 zmienną niezależną przestrzenno-podobną, zazwyczaj Mr, natomiast xi są czterema zmiennymi zależnymi takimi, jak T, ρ, r i Lr. Warunki brzegowe mają dwa dopasowywalne parametry w centrum, z1 i z2 oraz dwa takie parametry na powierzchni, z3 i z4. Możemy mieć przykładowo: z1 = ρc, z2 = Tc, z3 = R, z4 = L.
Równania struktury gwiazdowej są całkowane od powierzchni w głąb, aż do punktu zszycia w Mr = Mf oraz z centrum na zewnątrz, ku temu samemu punktowi zszycia. Wyniki całkowania otoczki w punkcie zszycia, mogą być zapisane jako
| xi,e = xi,e(z3, z4) |
, |
|
i = 1, 2, 3, 4 |
. |
| (ni.34) |
natomiast wyniki całkowania jądra, jako
| xi,c = xi,c(z1, z2) |
, |
|
i = 1, 2, 3, 4 |
. |
| (ni.35) |
W punkcie zszycia, liczone są różnice pomiędzy całkowaniami jądra i otoczki
| δxi ≡ xi,c - xi,e |
, |
|
i = 1, 2, 3, 4 |
. |
| (ni.36) |
Model jest znaleziony, jeśli δxi = 0. W ogólności, nie jest tak, jeśli zostały użyte złe wartości parametrów brzegowych. Iteracyjny proces służący znalezieniu właściwych wartości jest oparty na zlinearyzowanym równaniu
| δxi + |
|
cijδzj = 0 |
|
i = 1, 2, 3, 4 |
, |
| (ni.37a) |
gdzie
Równania te są rozwiązywane w celu znalezienia poprawek do parametrów brzegowych, δzj i nowych wartości samych parametrów brzegowych, zj + δzj. W celu rozwiązania równań (ni.37a), należy policzyć wyznacznik macierzy |cij|. Do znalezienia rozwiązania czterech nieliniowych równań (ni.36), używamy w przede wszystkim techniki Newtona-Raphsona. Gdy iteracje są zbieżne, czyli gdy δxi oraz δzj są wystarczająco małe, model ciągu głównego wieku zerowego jest gotowy.
Autor: prof. Bohdan Paczyński
Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski
|
|
