Budowa i Ewolucja Gwiazd - "Urania-Postępy Astronomii"

Wykłady z astrofizyki

Spis
treści

Spis
wykładów

Budowa i Ewolucja
Gwiazd

prof. Bohdan Paczyński

ver. 1.00

IV. Politropy.

Politropy to samograwitujące sfery gazowe, które były i wciąż są, bardzo użyteczne jako grube przybliżenie bardziej realistycznych modeli gwiazdowych. Własności politrop są gruntownie opisane w klasycznym podręczniku: „Wstęp do badań struktury gwiazd” S. Chandrasekhara (1939, wydania Dover: 1958, 1967).

Zakładamy, że sferyczna gwiazda jest w równowadze hydrostatycznej. Jej struktura jest opisana przez dwa zwyczajne równania różniczkowe pierwszego stopnia:

= -

GM_r

r²

(poly.1a)

dM_r

= 4π r²ρ

(poly.1b)

Mogą one zostać połączone w jedno równanie drugiego stopnia — równanie Poissona:

r²

= - 4πGρ

(poly.2)

Zakładamy, że istnieje politropowa zależność pomiędzy ciśnieniem a gęstością:

P = Kρ^{1 + 1 / n}

(poly.3)

gdzie K i n są dodatnimi stałymi rzeczywistymi, a n jest zwany indeksem politropy. Wprowadzamy zmienne bezwymiarowe:

gdzie ρ_c jest gęstością centralną, θ jest „temperaturą politropową”, α jest stałą długości, definiowaną jako

α² =

K (n + 1) ρ_c^{(1 - n) / n}

4πG

(poly.5)

a ξ jest nową zmienną promieniopodobną. Łącząc równania (poly.2 – 5), otrzymujemy równanie Poissona w zmiennych bezwymiarowych:

ξ²

Jest ono znane jako równanie Lane'a – Emdena dla gwiazd politropowych.

Dwa warunki brzegowe dla równania (poly.6) przyjmują wartości w centrum:

Ponieważ oba warunki są dla tego samego punktu, są one w istocie warunkami początkowymi. Dlatego też, dla każdej wartości indeksu politropy n, istnieje tylko jedno rozwiązanie równania (poly.6). Rozwiązanie ma znaczenie fizyczne tak długo, jak θ ≥ 0. Powierzchnia gwiazdy politropowej wypada w ξ = ξ₁, gdzie θ = 0 i stosownie do równań (poly.4), gęstość i ciśnienie dążą do zera.

Są trzy znane rozwiązania analityczne:

ξ²

ξ²

Przypadek n = 0 odpowiada nieściśliwej cieczy, tj. ρ = ρ_c = const, P = P_cθ, co wymaga przepisania równania (poly.6) w innej postaci. W tym przypadku ciśnienie znika na powierzchni, lecz gęstość jest taka sama w całej „gwieździe”. Rozwiązanie to jest grubym przybliżeniem struktury wnętrza planety takiej, jak Ziemia. Przypadek n = 5 jest również specjalny, ponieważ promień takiej „gwiazdy” jest nieskończony. Można pokazać, że wszystkie politropy o n > 5 mają promienie nieskończone. Oznacza to, iż jedynie rozwiązania z n < 5 mają powierzchnię. Dwa przypadki najbardziej interesujące w odniesieniu do prawdziwych gwiazd mają n = 1.5 oraz n = 3 i pechowo nie posiadają rozwiązań analitycznych.

Rozwiązanie równania (poly.6) zależy jedynie od jednego parametru, indeksu politropy n. Jeśli struktura gwiazdy jest przybliżona politropą o danym indeksie, wówczas mogą być potrzebne dwa parametry skalujące, by wyrazić strukturę w jednostkach fizycznych, jak CGS. Przykładowo, dwoma takimi parametrami mogą być K (który jest związany z entropią) i gęstość centralna; lub masa gwiazdy i jej promień; lub też K oraz masa gwiazdy i tak dalej. Jeśli znamy rozwiązanie numeryczne lub analityczne równania Lane'a – Emdena (poly.6), wówczas możemy wyrazić całkowity promień gwiazdy R oraz całkowitą masę gwiazdy M jak następuje:

R = αξ₁ =

n + 1

4π

ρ_c^{(1 - n) / 2n} ξ₁

ξ₁

ξ₁

^3/2

ρ_c^{(3 - n) / 2n} ξ₁

Dwa ostatnie równania mogą być połączone, by uzyskać

R^{(3 - n) / n} M^{(n - 1) / n} =

GN_n

ξ₁^{(n - 3) / n}

jest liczbą bezwymiarową, która zależy jedynie od indeksu politropy. Możemy również obliczyć średnią gęstość gwiazdy jako

ξ₁³

ρ_c

ξ₁³

3 [ - ξ² dθ/dξ ]_ξ = ξ₁

(poly.13)

Ostatecznie, możemy obliczyć ciśnienie centralne jako

P_c = Kρ_c^{(n = 1) / n} = W_n

GM²

R⁴

ρ_c

Równania (poly.11a) i (poly.14a) można uzyskać na drodze dużo prostszej, przybliżonej analizy. Zamieniamy równania różniczkowe (poly.1a) i (poly.1b) odpowiednimi równaniami algebraicznymi:

ρ ≈ ρ_av ≈

R³

≈

R²

ρ ≈

GM²

R⁵

P ≈

GM²

R⁴

(poly.15)

Równania (poly.15) mogą być połączone z (poly.3) w celu otrzymania zależności masa – promień:

R^{(3 - n) / n} M^{(n - 1) / n} ≈

(poly.16)

Oczywiście, przy takiej przybliżonej analizie nie możemy uzyskać numerycznych wartości N_n i W. Musimy mieć rozwiązanie równania Lane'a – Emdena, by móc wyliczyć te współczynniki. Wyniki całkowań numerycznych są podane przez Chandrasekhara w jego podręczniku. Częstokroć będziemy potrzebować wszystkich tych współczynników dla dwóch ważnych przypadków: dla n = 1.5, który odpowiada gwieździe adiabatycznej podtrzymywanej ciśnieniem gazu nierelatywistycznego oraz dla n = 3, który to odpowiada gwieździe adiabatycznej podtrzymywanej ciśnieniem gazu ultrarelatywistycznego. Mamy

ρ_c / ρ_av

ξ₁

N_n

W_n

kT_c

μH

1.5

5.99

3.65

0.4242

0.7701

0.539

54.18

6.90

0.3639

11.05

0.854

Większość symboli w tabeli nie wymaga dodatkowych objaśnień. Ostatnia kolumna daje bezwymiarową liczbę dla politrop utrzymywanych ciśnieniem gazu doskonałego, z

P =

μH

ρT

i pozwala obliczyć temperaturę centralną T_c. Zauważmy, iż kT_c to z grubsza energia termiczna na cząstkę, podczas gdy μHGM / R jest energią grawitacyjną na cząstkę, a bezwymiarowe liczby w ostatniej kolumnie, 0.539 i 0.854, są równe stosunkowi tych dwóch energii dla dwóch modeli politropowych.

Zależność masa – promień dla gwiazdy z n = 1.5 jest dana jako

podczas gdy dla n = 3 mamy

^1.5

Oznacza to, że promień gwiazdy z n = 1.5 jest mniejszy, jeśli gwiazda jest masywniejsza, podczas gdy gwiazda z n = 3 ma masę jednoznacznie określoną przez wartość stałej K, a jej promień nie jest ograniczony ani przez K, ani przez M. Rzecz jasna, n = 3 to bardzo specjalny przypadek, który ma wiele zastosowań astrofizycznych.

Istnieje interesujące i użyteczne wyrażenie dla grawitacyjnej energii potencjalnej gwiazdy politropowej:

GM_rdM_r

GM²

Wyprowadzimy je wykorzystując warunek równowagi hydrostatycznej (równanie poly.1a) i relację daną równaniem (poly.3), jak również w postaci:

= K

n + 1

ρ^{(1 / n - 1)}dρ = (n + 1) d

(poly.19)

Grawitacyjna energia potencjalna jest zdefiniowana jako energia wymagana do usunięcia całej masy gwiazdy, powłoka po powłoce, aż do nieskończoności.

Wyprowadźmy równanie (poly.18) całkując przez części i korzystając z równań (poly.1a), (poly.1b), (poly.3) i (poly.19). Ponieważ często będziemy zmieniać zmienne całkowania, będziemy używać symboli c i s do wskazania centrum i powierzchni, tj. granic całek.

GM_rdM_r

GM_r²

s

c

∫

GM_r²

r²