Budowa i Ewolucja Gwiazd - "Urania-Postępy Astronomii"

W równaniu (st.4), g, k, T, μ, π, h są stałymi, a eenrgia E zależy jedynie od pędu p. Ponieważ cząstki mogą być relatywistyczne, jak i nierelatywistyczne, musimy korzystać z ogólnego wzoru na zależność pomiędzy E i p. Mamy

E ≡ E_total = E₀ + E_k,

(st.6)

gdzie masa spoczynkowa E₀ = mc², c = 3 × 10¹⁰cm s^-1 jest prędkością światła, a E_k jest energią kinetyczną cząstki. Dla cząstki poruszającej się z dowolną prędkością, istnieje specjalna zależność relatywistyczna:

E²_total = (mc²)² + (pc)²

(st.7)

Łącząc dwa ostatnie równania, otrzymujemy

E = mc²

1 +

(1 + (p/mc)² )^1 / 2 + 1

(st.8b)

Ostatnie równanie ma dwie proste granice asymptotyczne:

E_k ≈

p²

, dla p « mc

(granica nierelatywistyczna),

(st.9)

E_k ≈

, dla p » mc

(granica ultrarelatywistyczna).

Prędkość cząstki jest w ogólności dana jako:

Ponownie, mamy dwie proste granice asymptotyczne:

v ≈

, dla p « mc

(granica nierelatywistyczna),

(st.11)

v ≈

, dla p » mc

(granica ultrarelatywistyczna).

Energia kinetyczna wszystkich cząstek w jednostce objętości 1cm³, może być obliczona jako:

Interesuje nas gaz izotropowy, tak więc wektory prędkości i pędu każdej cząstki są do siebie równoległe. Prędkości różnych cząstek są zorientowane w różnych kierunkach, a ich rozkład kątowy izotropowy. Dla jednej wartości absolutnej prędkości i pędu możemy obliczyć ich iloczyn skalarny i uśrednić go po wszystkich kątach:

vp = vp = v_xp_x + v_yp_y + v_zp_z

(st.13a)

<v_xp_x> = <v_yp_y> = <v_zp_z> =

(st.13b)

Ciśnienie jest zdefiniowane jako strumień pędu przez jednostkę powierzchni 1cm², scałkowany po wszystkich cząstkach. Dla gazu izotropowego możemy wybrać tak, by jednostkowa powierzchnia była prostopadła do osi „x” i możemy obliczyć ciśnienie jako

gdzie jak poprzednio, uśrednianie jest wykonane po wszystkich cząstkach, poruszających się we wszystkich kierunkach.

Rozważmy teraz pewne specjalne, proste, ale ważne przypadki. Po pierwsze, rozważmy dowolny gaz nierelatywistyczny, o danej funkcji rozkładu pędu n(p) takiej, że dla zdecydowanej większości cząstek jest spełniony warunek p « mc. W takim przypadku mamy v ≈ p / m, E_k ≈ p² / 2m i

p²

p²

Po drugie, istnieje przypadek, gdy większość cząstek jest ultrarelatywistyczna, z p » mc, v ≈ c, E_k≈ pc dla większości z nich. Teraz, ciśnienie i gęstość energii kinetycznej są dane jako

!	Zauważmy, że zależności U ≈ 3P / 2 i U ≈ 3P dla dwóch granic są bardzo ogólne i nie zależą od szczegółów funkcji rozkładu n(p).

Otrzymane wzory pozwalają nam obliczyć, przynajmniej w zasadzie, ciśnienie i gęstość energii kinetycznej dla gazu złożonego z cząstek idealnych w warunkach lokalnej równowagi termodynamicznej (LTE). Przyjęliśmy przy tym ukryte założenie, że cząstki oddziałują ze sobą tak słabo, że energia tego oddziaływania może być pominięta, ale równocześnie jest wystarczająco dużo oddziaływań pomiędzy nimi, by ustalił się rozkład równowagowy. Mając mieszaninę kilku różnych typów cząstek, przykładowo elektronów, protonów i fotonów, przyjmujemy te same założenia odnośnie ich oddziaływań: jest ich wystarczająco mało, by móc założyć, iż całkowite ciśnienie i gęstość energii kinetycznej gazu złożonego jest sumą ciśnień i gęstości energii kinetycznej poszczególnych składników, lecz jest ich zarazem wystarczająco dużo, by móc utrzymać rozkłady równowagowe z tą samą temperaturą dla wszystkich typów cząstek. Obecnie, obliczymy szczegółowo kilka przykładowych funkcji rozkładu i odpowiednich wielkości termodynamicznych.

1. Rozkład Maxwella.

Rozkład Maxwella ma zastosowanie, gdy cząstki są nierelatywistyczne, a człon wykładniczy w mianowniku równania (st.2) jest bardzo duży, n_av « 1, tj. jest wiele komórek elementarnych w przestrzeni fazowej na cząstkę. W tym przypadku człon ±1 może być pominięty, jako bardzo mały w porównaniu do cżłonu wykładniczego, a rozkład dla fermionów i bozonów będzie taki sam. Warunek matematyczny może być zapisany jako

mc²

p²

Przy takim przybliżeniu mamy

h³

e^{-p² / 2mkT} p²

h³

e^{-p² / 2mkT} p²dp =

h³

h³

h³

p²

e^{-p² / 2mkT} p²dp =

h³

h³

gdzie podstawiliśmy x = p² / 2mkT.

W praktyce, rozkład Maxwella jest wykorzystywany dla atomów, jonów i elektronów o względnie małej gęstości. Zależność pomiędzy ilościową gęstością cząstek n [cm^-3] a fizyczną gęstością ρ [g cm^-3] zależy od składu chemicznego. Wygodnie jest używać X do oznaczenia ułamkowej obfitości wodoru (ułamek masy), Y — obfitości helu i Z — połączonych obfitości wszystkich cięższych pierwiastków. Częstokroć, wszystkie te cięższe pierwiastki są opisywane w literaturze astrofizycznej jako „metale”, nawet pomimo iż najczęstsze wśród nich to węgiel, azot i tlen. Oczywiście, mamy X + Y + Z = 1. Typowy skład chemiczny ośrodka międzygwiezdnego, lub gwiazd ciągu głównego, to: X = 0.70, Y = 0.28, Z = 0.02, tj. znajduej się tam przede wszystkim wodór i jedynie bardzo mały ułamek ciężkich pierwiastków. Obfitości te są wyrażone w ułamkach masy, tak więc ułamkowa ilość ciężkich atomów wynosi w przybliżeniu 0.002 lub nawet mniej.

W większości gwiazdowych zastosowań, bezpiecznie jest przyjąć założenie, że wszystkie atomy są w pełni zjonizowane. Jedynymi wyjątkami są atmosfery gwiazdowe i warstwy podatmosferyczne. Wygodną jednostką masy jest H = 1.67 × 10^-24g, tj. masa pojedynczego atomu wodoru. Masa atomu helu to 4H, a masa pierwiastka o ładunku jądra atomowego Z* wynosi w przybliżeniu 2Z*. Średni ładunek wszystkich cięższych pierwiastków wynosi w przybliżeniu <Z*> ≈ 8. W jednym gramie materii jest X / H jąder wodoru, Y / 4H jąder helu i w przybliżeniu Z / (2<Z*>H) cięższych jąder. Dlatego też, ilość jąder w gramie materii, tj. gęstość jonów wynosi

Całkowicie zjonizowany wodór daje 1 elektron na jądro, tj. 1 elektron na nukleon. He daje 2 elektrony na jądro, tj. 1 elektron na 2 jądra. Cięższy pierwiastek o ładunku Z* daje Z* elektronów na nukleon, który w typowym przypadku ma A ≈ 2Z* nukleonów, tj. dostajemy 1 elektron na 2 nukleony, tak jak dla helu. Gęstość elektronów może być obliczona jako

Gęstość (liczbowa) wszystkich cząstek jest dana jako

n = n_i + n_e

≈

( 2X + 0.75Y + 0.5Z )

(st.21)

Wygodnie jest zdefiniować średnią wagę molekularną μ, średnią wagę molekularną na jon μ_i oraz średnią wagę molekularną na elektron μ_e jako

n_iH

n_eH

Mając nowe definicje średniej wagi molekularnej (nie należy jej mylić z potencjałem chemicznym, także oznaczanym jako μ), możemy przepisać równanie stanu jako

gdzie P_e, P_i oraz P_g są odpowiednio ciśnieniami elektronów, jonów i gazu. Mamy także odpowiednie gęstości energii kinetycznych, dane jako

U_e = 1.5 P_e, U_i = 1.5 P_i, U = 1.5 P.

(st.24)

2. Rozkład Plancka.

Jest to rozkład fotonów w warunkach LTE (lokalnej równowagi termodynamicznej). Wygodnie jest scharakteryzować fotony poprzez częstotliwość ich oscylacji ν. Ich długość fali jest dana jako λ = c / ν, energia jako E = hν, a pęd jako p = hν / c. Fotony zawsze poruszają się z prędkością światła, mają zerową masę spoczynkową i są swoimi własnymi antycząstkami. Dlatego też, w warunkach LTE ich potencjał chemiczny jest równy zeru. Ich spin wynosi 1, tak więc są bozonami. Foton posiada dwa stany kwantowe o tej samej energii; odpowiadają one dwóm różnym stanom polaryzacji. Dlatego też dla fotonów g = 2 i mamy

n(p)dp =

8π

h³

p²

e^pc / kT - 1

(st.25a)

lub, w wygodniejszej postaci

c³

Całkowita energia związana z promieniowaniem, to

c³

ν³

c³

⁴

gdzie podstawiliśmy x = hν / kT. Ostatnia całka ma wartość π⁴ / 15 ≈ 6.088, więc możemy zapisać

U_r = aT⁴, gdzie a =

8π⁵

k⁴

h³c³

≈ 7.565 × 10^-15 erg cm^-3K^-4

(st.26b)

Ciśnienie promieniowania jest dane jako:

P_r =

U_r =

T⁴

(st.27)

ponieważ fotony są ultrarelatywistyczne.

Wygodnie jest opisywać promieniowanie poprzez jego natężenie B_ν(T), a

W LTE natężenie promieniowania jest takie samo we wszystkich kierunkach, w całym kącie bryłowym Ω = 4π. Gęstość energii promieniowania może być obliczona jako

gdzie całkowanie obejmuje wszystkie kierunki; w naszym przypadku promieniowanie jest izotropowe, tj. B(T) jest takie samo we wszystkich kierunkach. Możemy połączyć równania (st.26b) i (st.29) otrzymując

T⁴

c²

ν³

e^hν / kT - 1

dν

(st.31)

B_ν(T) jest zwana funkcją Plancka. Daje ona natężenie promieniowania ciała doskonale czarnego w danej temperaturze T.

Obliczmy strumień promieniowania emitowanego z powierzchni ciała doskonale czarnego, które ma temperaturę T. Natężenie promieniowania scałkowane po wszystkich częstotliwościach jest dana jako B(T) i jest takie samo w każdym kierunku wychodzącym z powierzchni. Wprowadźmy kąt θ, pomiędzy prostopadła do powierzchni a kierunkiem promienia świetlnego oraz kąt azymutalny φ. Element kąta bryłowego jest dany jako dΩ = sinθdφdθ. Strumień promieniowania ciała doskonale czarnego napływający z kierunku prostopadłego do powierzchni może być obliczony poprzez scałkowanie po wszystkich kątach składnika B(T) ortogonalnego do powierzchni, tj. B(T)cosθ. Mamy:

Łącząc ostatnie równanie z (st.30), otrzymujemy strumień promieniowania z jednostki powierzchni ciała doskonale czarnego

F_BB = σT⁴

σ =

= 5.67 × 10^-5 erg cm^-2 s^-1 K^-4

(st.33)

gdzie σ jest stałą Stefana-Boltzmana.

Prawdziwe obiekty astronomiczne promieniują w bardziej skomplikowany sposób, aniżeli ciało doskonale czarne w jakiejkolwiek temperaturze. Jednakże pożytecznym jest zdefiniować temperaturę efektywną jako temperaturę ciała doskonale czarnego, które wypromieniowałoby energię w takim tempie, jakim robi to gwiazda. Jeśli moc promieniowania gwiazdy to L, a jej promień R, wówczas jej powierzchnia promieniuje w tempie F = L / 4πR². Temperatura efektywna jest zdefiniowana poprzez relację:

σT_eff⁴ ≡

4πR²

(st.34)

Jeśli mamy mieszaninę gazu i promieniowania, wówczas całkowite ciśnienie i całkowita gęstość energii kinetycznej, są dane jako

T⁴

Pożytecznym jest zdefiniować stosunek ciśnienia gazu do ciśnienia całkowitego

β ≡ P_g ⁄ P

0 < β < 1

(st.36)

!	W niskiej temperaturze dominuje ciśnienie gazu, podczas gdy w wysokiej — ciśnienie promieniowania. Dwa przyczynki są równe, tj. mamy P_g = P_r, gdy

μH

ρT =

T⁴

(st.37)

Dla standardowego składu chemicznego, tj. dla X = 0.70, Y = 0.28, Z = 0.02, średnia waga molekularna wynosi μ^-1 = 1.62, a stała ciśnienia gazu k ⁄ μH = 5.1 × 10⁷ erg g^-1 K^-1. Gęstość, gdzie ciśnienie gazu równoważy ciśnienie promieniowania, wynosi:

ρ ≈ 5 × 10^-23 T³ [g cm^-3 K^-3] ≈

3 × 10⁷K

[g cm^-3]

(st.38)

3. Rozkład Fermi–Diraca.

Obecnie rozważymy rozkład elektronów, tj. cząstek o spinie ½, gdy gęstość jest wysoka. Elektron może być w dwóch stanach spinowych: + ½ i - ½, tak więc ilość różnych stanów kwantowych na jednostkową komórkę w przestrzeni fazowej wynosi g = 2, a średnia ilość elektronów na jednostkową komórkę, to:

n_av =

e^{(E - μ) / kT} + 1

(st.39a)

natomiast gęstość elektronów jest dana jako

h³

z energią elektronów E będącą funkcją ich pędu (por. równanie st.8). Gęstość, ciśnienie i gęstość energii kinetycznej są dane jako (por. równania st.12, st.14, st.22c)

Potencjał chemiczny, który pojawia się w równaniach (st.39a) jest w przybliżeniu równy masie spoczynkowej elektronu: μ = mc² + E_F, gdzie E_F jest energią Fermiego — jej znaczenie fizyczne stanie się widoczne wkrótce. Człon E - μ w wykładniku mianownika równań (st.39) jest równy E_k - E_F. Jeśli E_F << 0, funkcja rozkładu elektronów jest maxwellowska, ponieważ człon wykładniczy jest dużo większy niż 1, nawet dla elektronów z zerową energią kinetyczną.

Zainteresujmy się inną granicą: E_F >> kT. Teraz, człon wykładniczy jest bardzo mały dla E_k < E_F, jest równy 1 dla E_k = E_F oraz jest bardzo wielki dla E_k > E_F. Przejście od dużo mniejszego niż 1 do dużo większego niż 1 ma miejsce dla względnie małej zmiany w energii kinetycznej, δE ≈ 2kT << E_F. Dlatego też, w granicy gdy kT << E_F liczba obsadzeń n_av dana równaniem (st.39a), staje się niemal funkcją skokową energii kinetycznej elektronu:

Wynik ten może być zinterpretowany następująco. Kiedy temperatura spada, elektrony obsadzają najniższe dostępne stany energetyczne. Aczkolwiek, ponieważ są one fermionami, muszą wypełniać zakaz Pauliego: nie może być więcej niż jednego elektronu w tym samym stanie kwantowym. Elektron może być w dwóch odrębnych stanach spinowych. Oznacza to, iż w dowolnej komórce elementarnej przestrzeni fazowej, mogą być co najwyżej dwa elektrony. Zasada nieoznaczoności Heisenberga jest odpowiedzialna za rozmiary tych komórek. Tak więc, ze spadkiem temperatury elektrony wypełniają komórki o najniższych energiach aż do energii Fermiego, a wszystkie wyższe stany energetyczne są puste. Taki gaz jest zwany zdegenerowanym. Wartość energii Fermiego zależy od gęstości elektronów w zwykłej przestrzeni. Jest to oczywiste po obliczeniu całki (st.39a), stosownie do warunków (st.41). Otrzymujemy

n_e =

8π

h³

p_F

p_F

gdzie p_F jest pędem Fermiego związanym z energią Fermiego równaniem (st.8). Zależność ta może być zapisana jako

E_F

mc²

+ 1

p_F

+ 1

(st.43)

Możemy wyrazić gęstość, ciśnienie i gęstość energii kinetycznej w jednostkach pędu Fermiego i zapisać równania (st.40) jako

ρ = μ_eH

8π

3h³

p_F³

p_F

p⁴dp

h³

p_F

mh³

p_F

∫

p⁴

[(1 + [p/(mc)]²)^1/2 + 1]

(st.44c)

gdzie zależność energii kinetycznej i prędkości od pędu dana równaniami (st.8) i (st.10). Wygodnie jest wprowadzić zmienne bezwymiarowe:

x ≡

x_F ≡

p_F

(st.45)

i przepisać równania (st.44) jako

A μ_e x_F³

x_F

x⁴dx

x_F

[(1 + x²)^1/2 - 1] x²dx = 3B

x_F

∫

x⁴dx

(1 + x²)^1/2 + 1

(st.46c)

dla masy elektronu m = 9.11 × 10^-28 g, stałe wynoszą

A ≡

8π

H = 0.981 × 10⁶ [g cm^-3]

(st.46d)

B =

8π

mc² = 4.80 × 10²³ [erg cm^-3]

(st.46e)

Całki w równaniach (st.46) mogą być obliczone analitycznie, jednakowoż wyniki są zbyt skomplikowane, by mieć jakąś wartość praktyczną. Bardziej pożyteczne jest rozważenie dwóch przypadków granicznych. Wpierw rozważmy x_F << 1, tj. gaz elektronowy będzie zdegenerowany nierelatywistyczny. Dla x << 1 dominujący człon wyrażenia podcałkowego równań (st.46) wynosi x⁴ i otrzymujemy

P_e =

Bx_F⁵ = 0.991 × 10¹³ (ρ / μ_e)^5/3

Bx_F⁵ =

Zależność pomiędzy P_e a U_e jest właśnie taka, jak oczekiwana dla dowolnego gazu nierelatywistycznego (zob. równanie st.15).

Drugi przypadek graniczny to x_F >> 1, tj. degeneracja ultrarelatywistyczna. Stosując poprzednią procedurę znajdujemy, że dominujący człon w całkach (st.46b, c) wynosi x³ i otrzymujemy

P_e =

Bx_F⁴ = 1.231 × 10¹⁵ (ρ / μ_e)^4/3

x_F >> 1

(st.48a)

U_e =

Bx_F⁴ =

3P_e

x_F >> 1

(st.48b)

Ponownie, zależność pomiędzy P_e a U_e jest taka, jak oczekiwana dla dowolnego gazu ultrarelatywistycznego.

Przejście pomiędzy równaniami (st.47) a (st.48) powinno następować dla x_F ≈ 1 , tj. przy ρ ≈ 10⁶ g cm^-3 . W obszarze przejściowym można korzystać albo z dokładnego i skomplikowanego wzoru analitycznego na całkę (st.44b), lub też z następującego wzoru przybliżonego, mającego dokładność lepszą niż około 2%. Możemy zapisać równania (st.47a) i (st.48a) jako

P_e, nr = K₁ ρ^5/3

K₁ =

^2/3

h²

m(Hμ_e)^5/3

= 0.991 × 10¹³ μ_e^- 5/3

(st.49a)

P_e, r = K₂ ρ^4/3

K₂ =

^1/3

(Hμ_e)^4/3

= 1.231 × 10¹⁵ μ_e^- 4/3

(st.49b)

P_e, d = [P_e, nr^- 2 + P_e, r^- 2 ]^- 1/2

(st.49c)

gdzie P_e, d oznacza ciśnienie zdegenerowanego gazu elektronowego. Formuła interpolacyjna (st.49c) wybiera mniejszy z dwóch wzorów dla przypadków granicznych.

W granicy niezdegenerowanej i nierelatywistycznej, tj. dla mc² >> E - μ >> kT całki (st.39) i (st.40) mogą być obliczone tak, jak w przypadku funkcji rozkładu Maxwella i otrzymujemy

gdzie indeks „e, nd” oznacza gaz elektronowy niezdegenerowany.

W obszarze nierelatywistycznym częściowo zdegenerowanym, tj. gdy E - μ ≈ kT, nie ma dokładnego wzoru analitycznego dla całek (st.39) i (st.40), jest jednak analityczna formuła interpolacyjna, dokładna do około 2%. Ciśnienie częściowo zdegenerowanego gazu elektronowego P_e, może być obliczone jako

P_e = [P_e, nd² + P_e, d²]^1/2

(st.51)

Ostatnia formuła wybiera większy z dwóch wzorów dla przypadków granicznych.

Znajdźmy obecnie obszar na płaszczyźnie gęstość – temperatura, gdzie następuje przejście od gazu elektronowego niezdegenerowanego do zdegenerowanego. Może być to oszacowane przez położenie P_e, nd = P_e, d ≈ P_e, nr, co daje

μ_eH

ρT = K₁ρ^5/3 ⇔ T ≈ 10⁵ρ^2/3

(st.52)

4. Pary elektron – pozyton

Ostatni wzór (st.51) na ciśnienie gazu elektronowego ma bardzo szeroki zakres zastosowań. Nie ma ograniczenia przy bardzo niskich gęstościach. Przy bardzo wysokich gęstościach, wymagana jest poprawka jedynie w obliczeniu średniej ilości nukleonów na elektron, μ_e. Przy bardzo niskiej temperaturze gaz nie jest już w pełni zjonizowany i ponownie obliczenie ilości nukleonów na wolne elektrony staje się skomplikowane. Przy bardzo wysokiej temperaturze, gdy kT >= mc², elektrony stają się relatywistyczne. Energetycznie mozliwe staje się tworzenie par elektron-pozyton, tj. tworzenie nowych cząstek. Musimy teraz zapisać funkcje rozkładu dla obydwu typów elektronów. Ponieważ jeden jest antycząstką drugiego, ich potencjał chemiczny różni się o dwie energie masy spoczynkowej, tj. mamy

μ^– = μ ≈ mc²

μ⁺ = μ - 2mc² ≈ - mc²

(st.53)

a średnia ilość cząstek na jednostkową komórkę, wynosi

n_av^– =

e^{(E - μ) / kT} + 1

n_av⁺ =

e^{(E - μ + 2mc²) / kT} + 1

(st.54)

natomiast gęstość na 1 cm³ jest dana jako

n_e^– =

∞