Urania-Postępy Astronomii
Wykłady z astrofizyki   
Urania-Postępy Astronomii Urania-Postępy Astronomii


Spis
treści
Spis
wykładów

Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 2.00


VI. Ogólne rozważania termodynamiczne.
    Pierwsza zasada termodynamiki może być zapisana jako bilans cieplny w jednym gramie materii
dQ = TdS = du + PdV,
(gt.1a)

gdzie dQ jest zyskiem lub utratą ciepła, T — temperaturą, S — entropią na gram, u — gęstością energii wewnętrznej na gram, P — ciśnieniem, a V = 1 / ρ jest objętością właściwą , tj. odwrotnością gęstości. Równanie (gt.1a) określa bilans pomiędzy dopływem ciepła, zmianą energii gazu, a pracą mechaniczną. W równaniu tym entropia, gęstość energii oraz ciśnienie są funkcjami gęstości i temperatury, S(ρ,T), u(ρ,T), P(ρ,T), lecz ciepło Q nie jest jednoznaczną funkcją (ρ,T). Często zapisujemy równanie (gt.1a) w innych postaciach:
TdS = d  nawias
U
ρ
 nawias  - 
P
ρ2
  dρ,
(gt.1b)
gdzie U jest gęstością energii na jednostkę objętości, lub
dS = 
1
T
  du - 
P
Tρ2
  dρ =  nawias
1
T
 nawias
∂u
∂T
 nawiasρ nawias  dT +  nawias
1
T
 nawias
∂u
∂T
 nawiasT  - 
P
Tρ2
 nawias  dρ =
(gt.1c)
↑ u = u(ρ, T)   =  nawias
∂S
∂T
 nawiasρ dT +  nawias
∂S
∂ρ
 nawiasT  dρ.    bo S = S(T, ρ)
Z ostatniego równania wynika, że
nawias
∂S
∂T
 nawiasρ = 
1
T
 nawias
∂u
∂T
 nawiasρ ,
(gt.2a)
nawias
∂S
∂ρ
 nawiasT  = 
1
T
 nawias
∂u
∂ρ
 nawiasT  - 
P
Tρ2
  .
(gt.2b)
    Drugie pochodne dobrze zachowującej się funkcji spełniają zależność
nawias
∂
∂T
 nawias
∂S
∂ρ
 nawiasT nawiasρ  =  nawias
∂
∂ρ
 nawias
∂S
∂T
 nawiasρ nawiasT  .
(gt.3)
tj. nie jest istotna kolejność różniczkowania. Dlatego też, jeśli weźmiemy pochodną równania (gt.2a) po gęstości oraz pochodną równania (gt.2b) po temperaturze, powinniśmy otrzymać ten sam wynik, tj.
1
T
∂2u
∂ρ∂T
  = - 
1
T2
∂u
∂ρ
  + 
1
T
∂2u
∂T∂ρ
  + 
P
T2ρ2
  - 
1
Tρ2
∂P
∂T
  .   /·T2
(gt.4)
Wyraz z lewej strony (gt.4) skraca się z odpowiadającym mu wyrazem z prawej strony. Przekształcając trzy pozostałe wyraz, otrzymujemy

nawias
∂u
∂ρ
 nawiasT  = 
P
ρ2
  - 
T
ρ2
 nawias
∂P
∂T
 nawiasρ  = 
P
ρ2
 nawias 1 - 
T
P
 nawias
∂P
∂T
 nawiasρ nawias  = 
P
ρ2
 nawias 1 -  nawias
∂ lnP
∂ lnT
 nawiasρ nawias  .
(gt.5)

Zależność (gt.5) jest tożsamością termodynamiczną, którą musi spełniać  dowolne równanie stanu . Jest ona użyteczna albo do szybkiego znalezienia pochodnej (∂u ⁄∂ρ)T, albo też do sprawdzenia wyników.

    Będziemy potrzebować rozmaitych funkcji termodynamicznych. Wśród nich są wykładnik adiabatyczny γ oraz adiabatyczny gradient temperatury nablaad, zdefiniowane jako
γ ≡  nawias
∂ lnP
∂ lnρ
 nawiasS  ,       nablaad ≡  nawias
∂ lnT
∂ lnP
 nawiasS .
(gt.6a)
Mamy, oczywiście
nawias
∂ lnT
∂ lnρ
 nawiasS  = γ nablaad  .
(gt.6b)
Możemy również potrzebować wielkości zwane ciepłem właściwym, cv i cp, tj. ilość ciepła potrzebną do podniesienia temperatury 1 grama materii o 1 K przy, odpowiednio, stałej gęstości i stałym ciśnieniu. Mamy
cV = T nawias
∂S
∂T
 nawiasρ  =  nawias
∂u
∂T
 nawiasρ  ← z (gt.1a)   [erg g-1 K-1] ,
(gt.7a)
cp = T nawias
∂S
∂T
 nawiasP  =  nawias
∂u
∂T
 nawiasP  - 
P
ρ2
 nawias
∂ρ
∂T
 nawiasP  ← z (gt.1a)   [erg g-1 K-1] ,
(gt.7b)

    Wyrazimy wszystkie te wielkości termodynamiczne w jednostkach ρ, T, P, (∂P ⁄∂T)ρ, (∂P ⁄∂ρ)T oraz (∂u ⁄∂T)ρ. Dla dowolnego równania stanu możemy napisać:
dP = T nawias
∂P
∂T
 nawiasρ dT +  nawias
∂P
∂ρ
 nawiasT dρ ,
(gt.8)
co pozwala obliczyć
nawias
∂ρ
∂T
 nawiasP  = -  nawias
∂P
∂T
 nawiasρ / nawias
∂P
∂ρ
 nawiasT  .
(gt.9)
By móc wyrazić cP w żadanej postaci, napiszemy
du =  nawias
∂u
∂T
 nawiasP dT +  nawias
∂u
∂P
 nawiasT dP =
(gt.10)
nawias nawias
∂u
∂T
 nawiasP  +  nawias
∂u
∂P
 nawiasT   nawias
∂P
∂T
 nawiasρ nawias  dT +  nawias nawias
∂u
∂P
 nawiasT   nawias
∂P
∂ρ
 nawiasT nawias  dρ .
Ostatnie równanie daje
nawias
∂u
∂T
 nawiasP  +  nawias
∂u
∂P
 nawiasT   nawias
∂P
∂T
 nawiasρ  =  nawias
∂u
∂T
 nawiasρ = cV .
(gt.11a)
nawias
∂u
∂P
 nawiasT  +  nawias
∂P
∂ρ
 nawiasT  =  nawias
∂u
∂ρ
 nawiasT  = 
P
ρ2
  - 
T
ρ2
   nawias
∂P
∂T
 nawiasρ .
(gt.11b)
Łącząc równania (gt.7b), (gt.9), (gt.11) i (gt.11b) otrzymujemy
cP = cV + 
T
ρ2
   nawias
∂P
∂T
 nawias2
ρ		 / nawias
∂P
∂ρ
 nawiasT .
(gt.12)
    Łącząc równania (gt.2a), (gt.2b), (gt.5) oraz (gt.7a) mamy
nawias
∂S
∂T
 nawiasρ  = 
cV
T
 ,       nawias
∂S
∂ρ
 nawiasT  = - 
1
ρ2
   nawias
∂P
∂T
 nawiasρ .
(gt.13)
    Kładąc dS = 0 w równaniu (gt.1c) otrzymujemy
nawias
∂T
∂ρ
 nawiasS  = -  nawias
∂S
∂ρ
 nawiasT / nawias
∂S
∂T
 nawiasρ .
(gt.14)
Łącząc równania (gt.6b), (gt.13) oraz (gt.14) mamy
nawias
∂ lnT
∂ lnρ
 nawiasS  = 
1
ρcV
 nawias
∂P
∂T
 nawiasρ  = γ·nablaad .
(gt.15)
    Wyrazimy teraz nablaad w wielkościach łatwych do obliczeń. Możemy napisać
dS =  nawias
∂S
∂T
 nawiasP dT +  nawias
∂S
∂P
 nawiasT dP =
(gt.16)
nawias nawias
∂S
∂T
 nawiasP  +  nawias
∂S
∂P
 nawiasT   nawias
∂P
∂T
 nawiasρ nawias  dT +  nawias nawias
∂S
∂P
 nawiasT   nawias
∂P
∂ρ
 nawiasT nawias  dρ .
Drugi człon w nawiasach kwadratowych w ostatnim równaniu może być zapisany jako (por. równanie gt.13)
nawias nawias
∂S
∂P
 nawiasT   nawias
∂P
∂ρ
 nawiasT nawias  =  nawias
∂S
∂ρ
 nawiasT = - 
1
ρ2
   nawias
∂P
∂T
 nawiasρ ,
(gt.17)
i dlatego też
nawias
∂S
∂P
 nawiasT  = - 
1
ρ2
   nawias
∂P
∂T
 nawiasρ / nawias
∂P
∂ρ
 nawiasT ,
(gt.18a)
podczas gdy (por. gt.7b)
nawias
∂S
∂T
 nawiasP  = 
1
ρ2
   nawias
∂P
∂T
 nawiasρ / nawias
∂P
∂ρ
 nawiasT ,
(gt.18b)
Biorąc dS = 0 w równaniu (gt.16) i wykorzystując równania (gt.18), otrzymujemy
nablaad ≡ 
P
T
   nawias
∂T
∂P
 nawiasS  = - 
P
T
  nawias
∂S
∂P
 nawiasT / nawias
∂S
∂T
 nawiasP = 
P
ρ2cP
   nawias
∂P
∂T
 nawiasρ / nawias
∂P
∂ρ
 nawiasT .
(gt.19)
Ostatecznie, łącząc równania (gt.15) oraz (gt.19), mamy
γ ≡  nawias
∂ ln P
∂ ln ρ
 nawiasS  = 
cP
cV
  
ρ
P
   nawias
∂P
∂ρ
 nawiasT  = 
cP
cV
   nawias
∂ ln P
∂ ln ρ
 nawiasT .
(gt.20)
    W ogólności możemy mieć gaz złożony z kilku składników takich, jak jony, elektrony, fotony. Zakładamy, że cząstki gazu słabo wzajemnie oddziałują. Jest jednak wystarczająco dużo oddziaływań, by ustanowić Lokalną Równowagę Termodynamiczną (LTE), z taką samą temperaturą dla wszystkich składników. Oddziaływanie jest dostatecznie słabe, byśmy mogli rozważać wszystkie cząstki jako swobodne, jak również możemy zaniedbać energię oddziaływań przy obliczaniu ciśnienia i gęstości energii. Dlatego też, jeśli jest wiele składników, każdy o gęstości ρk, ciśnieniu Pk oraz gęstości energii uk lub Uk, wówczas gaz jako całość ma gęstość, ciśnienie i gęstość energii dane jako
ρ = 
 
∑
k
 ρk ,       P = 
 
∑
k
 Pk ,       U = 
 
∑
k
 Uk .
(gt.21)
gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie składniki. Ponieważ energia oddziaływań jest ignorowana, możemy obliczyć pochodne: (∂P ⁄∂T)ρ, (∂P ⁄∂ρ)T, (∂u ⁄∂T)ρ, dla wszystkich składników, a następnie zsumować je by otrzymać
nawias
∂P
∂T
 nawiasρ = 
 
∑
k
 nawias
∂Pk
∂T
 nawiasρ ,       nawias
∂P
∂ρ
 nawiasT = 
 
∑
k
 nawias
∂Pk
∂ρ
 nawiasT ,       nawias
∂u
∂T
 nawiasρ = 
 
∑
k
 nawias
∂uk
∂T
 nawiasρ ,
(gt.22)
Mając powyższe, wszystkie pozostałe wielkości termodynamiczne mogą być obliczone według równań, które zapiszemy łącznie poniżej:




    Rozważymy obecnie dwa przypadki graniczne, gaz nierelatywistyczny (N-R) oraz gaz ultrarelatywistyczny (U-R), gdzie w obu przypadkach gęstość energii gazu jest równa jego gęstości energii kinetycznej. Zgodnie z równaniami (st.15) i (st.16) w rozdziale: Równanie stanu, mamy odpowiednio U = 1.5P oraz U = 3P dla dwóch przypadków granicznych. Łącząc te dwie zależności z równaniem bilansu ciepła w postaci danej równaniem (gt.1b) na początku niniejszego rozdziału, jak również kładąc dS = 0, znajdujemy następującą zależność adiabatyczną dla gazu nierelatywistycznego:
0 = d  nawias
U
ρ
 nawias  - 
P
ρ2
  dρ = 1.5d  nawias
P
ρ
 nawias  - 
P
ρ2
  dρ = 
1.5
ρ
  dP - 
2.5P
ρ2
  dρ
(gt.24)
1.5 d  nawias
P
ρ
 nawias  = 1.5  nawias
dP·ρ - Pdρ
ρ2
 nawias
i dlatego też
1.5
ρ
  dP = 
2.5P
ρ2
  dρ  ⇒  
dP
dρ
ρ
P
  =    γ  ≡  nawias
∂ ln P
∂ ln ρ
 nawiasS  = 
 5 
 3 
 ,        (NR)  ,
(gt.25)
a następującą zależność adiabatyczną dla gazu ultrarelatywistycznego:
0 = d  nawias
U
ρ
 nawias  - 
P
ρ2
 dρ = 3d  nawias
P
ρ
 nawias  - 
P
ρ2
 dρ = 
= 3  nawias
dP·ρ - Pdρ
ρ2
 nawias  - 
P
ρ2
 dρ     = 
3
ρ
 dP - 
4P
ρ2
 dρ ,
(gt.26)
i dlatego też
3
ρ
  dP = 
4P
ρ2
  dρ  ⇒      γ  ≡  nawias
∂ ln P
∂ ln ρ
 nawiasS  = 
 4 
 3 
 ,        (UR)  ,
(gt.27)
! Powyższe wzory na wykładnik adiabatyczny γ mają zastosowanie dla dowolnego gazu, którego ciśnienie i gęstość energii są zdominowane przez cząstki o albo p << mc (N-R), albo też p >> mc (U-R), niezależnie od tego, jakie są szczegóły ich funkcji rozkładu. Dlatego też, gwiazdy mające strukturę adiabatyczną, przykładowo te, które są w pełni konwektywne, mają potęgową zależność pomiędzy ciśnieniem a gęstością, P ~ ργ, z γ = 5/3 jeśli gaz jest nierelatywistyczny, lub γ = 4/3, jeśli gaz jest ultrarelatywistyczny.
Takie potęgowe równanie stanu jest nazywane politropowym, a samograwitujące sfery o takim równaniu stanu, są nazywane politropami. Wiele romaitych typów gwiazd to, z bardzo wielką dokładnością, politropy. Zaliczają się tu bardzo masywne, jak i bardzo małomasywne gwiazdy ciągu głównego oraz gwiazdy przed ciągiem głównym, bardzo małomasywne, jak i bardzo masywne białe karły. Co więcej, jądra konwektywne lub też otoczki konwektywne gwiazd mogą również być opisane jako częściowe politropy. Z historycznego punktu widzenia, politropy były bardzo ważne dla rozwoju teorii struktury gwiazd. Bardzo szczegółowy opis jest podany przez S. Chandrasekhara w jego książce: Wstęp do badań struktury gwiazd.

Autor: prof. Bohdan Paczyński

Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski



© "Urania-Postępy Astronomii"
webmaster: Marek Gołębiewski