| |
|
19. O problemie odległości w kosmologii
| |
Od czasu do czasu pojawia się w mediach doniesienie o odkryciu przez astronomów jakiegoś rekordowo odległego obiektu — galaktyki lub kwazara — którego badanie dostarcza nam nowej wiedzy o Wszechświecie. Podaje się przy tym także wyznaczoną odległość, wyrażającą się zwykle liczbą wielu miliardów lat świetlnych. W tym momencie odbiorca takiej informacji, który nie jest zawodowym astronomem, ale którego te zagadnienia interesują, może mieć pewne wątpliwości co do interpretacji odebranej wiadomości. Wiedząc o skończonej prędkości światła oraz o ekspansji kosmologicznej, można przecież domyślić się, że przed miliardami lat nasz obiekt był w zupełnie innej odległości od naszej Galaktyki, niż jest obecnie. Jak należy w takim razie rozumieć odległość do takich obiektów? Spróbuję przybliżyć ten problem.
Dla zawodowego astronoma kosmologa są to sprawy dobrze znane, lecz dla szerszego kręgu czytelników „Uranii - PA” zapewne warte opisania. Nie jest to jednak tekst całkiem popularny. Zawiera sporo wzorów i wymaga pewnej wiedzy matematycznej oraz fizycznej — przynajmniej na poziomie bardzo dobrej szkoły średniej.
Zapewne każdy niemal z naszych czytelników zetknął się z prawem Hubblea w klasycznej postaci v = H0d. Prawo to zaliczane do największych odkryć astronomii XX wieku, uświadomiło nam fakt ekspansji naszego Wszechświata, a przy okazji stało się jedną z metod wyznaczania odległości w skali kosmologicznej. Od ponad siedmiu dziesięcioleci trwa obserwacyjna weryfikacja wartości liczbowej stałej Hubblea, H0. Zwykle wykorzystuje się do tego celu obserwacje cefeid lub supernowych w innych galaktykach. Obecnie najczęściej przyjmowana jest wartość H0 = 65 ± 8 km/s/Mpc. Jak wiemy, podstawową obserwablą przy wykorzystywaniu prawa Hubblea, jest wielkość przesunięcia linii widmowych, z = Δλ / λ0, w widmie badanego obiektu. Gdy przesunięcia są
stosunkowo niewielkie, korzystać możemy z nierelatywistycznej wersji wzoru Dopplera na prędkość radialną vr = cz. W ogólniejszym jednak przypadku musimy korzystać z pełnej relatywistycznej postaci wzoru Dopplera
Jak widać (1), nie tylko czysto radialna
składowa prędkości, vr, jest istotna, lecz także całkowita wartość u względnej prędkości obiektu i obserwatora. Jednak przy analizie bardzo odległych obiektów można w pierwszym przybliżeniu zaniedbać ich ruchy własne w macierzystej gromadzie galaktyk i utożsamić v ≡ vr. Wówczas z formuły 1 dostaniemy:
| v = c |
| (z + 1)2 - 1 |
|
| (z + 1)2 + 1 |
|
| (2) |
Z dość dobrym przybliżeniem można zaakceptować jako granicę stosowalności formuły nierelatywistycznej wartość z ≈ 0,15. Dla tej liczby otrzymamy bowiem z formuły nierelatywistycznej prędkość oddalania się obiektu v ≈ 45 000 km/s, zaś z formuły relatywistycznej v ≈ 41 658 km/s. Różnica jest więc ok. 7%. Wykorzystując prawo Hubblea z wartością H0 = 65 km/s/Mpc, dostaniemy w pierwszym przypadku odległość ok. 2,25 mld lat świetlnych, zaś w drugim ok. 2,1 mld lat świetlnych. W tym miejscu można już jednak postawić sobie pewne istotne pytania:
1) Czy wolno nam, operując już skalą miliardów lat, używać stałej wartości H0, wyznaczonej na podstawie obserwacji stosunkowo bliskich galaktyk, odległych najwyżej o kilkaset milionów lat świetlnych?
2) Co w ogóle oznacza odległość w sytuacji, gdy operujemy miliardami lat świetlnych? Czy chodzi o odległość obiektu w chwili emisji widocznego dziś światła (jak było przed miliardami lat), czy też o jego odległość od nas w chwili obecnej? Przecież na skutek globalnej ekspansji, odległości kosmologiczne między obiektami stale się zwiększają i w skali miliardów lat nie sposób tego nie uwzględniać.
3) Jaką właściwie drogę przebywa światło od dalekiego obiektu do nas? Wyemitowane światło biegnie ze skończoną prędkością, trwa to bardzo długo (według czasu kosmologicznego), a jednocześnie trwa ekspansja i wzajemne oddalanie się obiektu od miejsca przyszłej obserwacji. Przebyta droga nie będzie więc równa ani odległości początkowej (w chwili emisji widocznych dziś fotonów), ani odległości obecnej w chwili dokonywania obserwacji.
Widzimy, że problem odległości w kosmologii nie jest wcale taki trywialny. Do dyspozycji mamy bowiem tylko dwie wielkości: zmierzoną dla obiektu wartość „poczerwienienia” kosmologicznego, z = Δλ / λ0, oraz wyznaczoną dla dzisiejszej epoki wartość stałej H0. Przy pomocy tych dwóch liczb musimy wyrazić poszukiwaną odległość. Jednakże zagadnienie, o którym tu piszemy, nie jest nowe. Jego rozwiązanie jest znane kosmologom od kilkudziesięciu lat i opisane w wielu akademickich monografiach, np. [1], [2], [3]. Może warto przybliżyć je także tym czytelnikom, dla których fachowe monografie z różnych przyczyn są niedostępne.
| |
Podstawowe równanie kosmologiczne (bez stałej kosmologicznej oraz przy
zaniedbaniu ciśnienia materii wypełniającej Wszechświat) ma postać
gdzie ρ to średnia gęstość materii we Wszechświecie, R(t) — tzw. kosmologiczny czynnik skali opisujący ekspansję kosmologiczną, kropka oznacza pochodną po czasie  ≡ dR / dt, zaś k = 0, +1, -1 odpowiada trzem znanym typom modeli kosmologicznych Friedmana. W szczególności modelowi o geometrii euklidesowej (k = 0), odpowiada tzw. „krytyczna” średnia gęstość materii, ρc. Odległość między dwoma punktami (obiektami), d, w chwili t można zapisać jako d(t) = | |R(t), gdzie || = 1 to wektor jednostkowy. Po czasie Δt odległość ta zwiększy się na skutek ekspansji i będzie wynosiła d'(t + Δt) = ||R(t + Δt). Możemy więc napisać prostą proporcję
| d' / d = R(t + Δt) / R(t) |
| (I.2) |
Przyrost odległości wyniesie więc
| Δd = d' - d = d[(R(t + Δt) - R(t)) / R(t)] |
| (I.3) |
zaś tempo wzajemnego oddalania się
| v = Δd / Δt = [(R(t + Δt) - R(t) / (R(t)Δt)]d |
| (I.4) |
co, po przejściu w granicy do pochodnej, możemy zapisać
| v = ( / R)d |
| (I.5) |
Porównując z prawem Hubblea v = Hd, widzimy, że
| H = / R |
| (I.6) |
Tak więc parametr Hubblea H nie jest wielkością stałą, lecz jest funkcją czasu, a konkretna postać H(t) zależy od rozważanego modelu kosmologicznego.
W szczególności rozwiązując równanie (I.1) dla przypadku z k = 0, otrzymamy
| R(t) = (6πGρ0R03)1/3 t2/3 |
| (I.7) |
(indeks zero odnosi się zawsze do obecnej chwili t0). Po zróżniczkowaniu po czasie i wstawieniu do (I.6), otrzymujemy
| H(t) = / R = 2 / (3t) |
| (I.8) |
Dla dzisiejszej chwili t0 (obecny wiek Wszechświata) mamy właśnie wielkość H0 = H(t0), wyznaczaną obserwacyjnie z relatywnie bliskich galaktyk. Stąd zaś t0 = 2 / (3H0).
Nasze równanie kosmologiczne (I.1) możemy więc zapisać
zaś tzw. gęstość krytyczną ρc (dla k = 0)
Wprowadza się też tzw. parametr Ω = ρ / ρc, który dla modeli z k = +1 jest Ω > 1, zaś dla k = -1, Ω < 1.
|
|
W ramce przypominamy kilka podstawowych dla kosmologii równań i zależności przydatnych dla analizy używanych dalej formuł. Widać z nich natychmiast, że odpowiedź na nasze powyższe pytanie (1) jest negatywna. Nie można dzisiejszej wartości stałej H0 używać wprost w prawie Hubblea, dla obiektów dalszych niż kilkaset milionów lat świetlnych.
Odpowiedź na pytanie (2) była znana już pod koniec lat 50. Rozwiązanie zostało znalezione m.in. przez Mattiga w 1958 r. Podamy tu, bez nieco żmudnego wyprowadzenia, końcowe rezultaty jego rozważań. Jeśli obserwujemy obiekt z przesunięciem linii w widmie równym z = Δλ / λ0, to obecnie znajduje
się on w odległości d0 wyrażającej się formułą
| d0 = |
|
|
| Ωz + (Ω - 2) [√(Ωz + 1) - 1] |
|
| Ω2(z + 1) |
|
| (3) |
gdzie parametr Ω = ρ / ρc charakteryzuje typ modelu kosmologicznego (patrz ramka), zaś H0 to wartość stałej Hubblea
w dzisiejszej epoce. Obiekt ten w chwili wyemitowania widocznego dziś światła (czyli np. przed miliardami lat), znajdował się w odległości d1 równej
Zauważmy, że dla modelu z geometrią euklidesową ( k = 0 i Ω = 1) formuła (3) daje nam
| d0 = |
|
|
 |
1 - |
|
![]](pics/nawias_kw_math-p.gif) |
| (5) |
Dla małych wartości z « 1 możemy w (5) zastosować rozwinięcie w szereg
| d0 = |
|
|
|
1 - |
|
|
≈ |
|
|
|
z + … = |
|
| (6) |
a stąd już tylko krok do klasycznej formuły Hubblea cz = v = H0d0.
Weźmy dla przykładu jeden z rekordowo „poczerwienionych” obiektów,
mających z = 5,25. Wówczas dla modelu z k = 0 (Ω = 1) oraz H0 = 65 km/s/Mpc, otrzymamy z (5) d0 = 18 mld lat świetlnych, zaś d1 = d0 / (z + 1) = 2,88 mld lat świetlnych. Widać, że na wartość d0 możemy otrzymać nawet więcej miliardów lat świetlnych, niż wynosi szacowany wiek Wszechświata, wyrażony w miliardach lat. Nie ma w tym jednak nic dziwnego, gdyż Wszechświat z k = 0 ma prawo być przestrzennie nieskończony. Dziś widzimy z naszego obiektu światło wysłane w chwili, gdy odległość wynosiła d1, zaś obecnie jest on w odległości d0, a wysłane dziś z niego światło doleci do naszej Galaktyki po kolejnych wielu miliardach lat. Lecz wówczas sam obiekt być może nie będzie już istniał.
Z formuły (5) — cały czas dla Ω = 1 — możemy obliczyć największą teoretycznie możliwą odległość d0. Odpowiada to przejściu do granicy z → ∞. Otrzymamy wówczas
Ponieważ jednocześnie dla takiego modelu mamy H = 2 / (3t) (patrz ramka), więc graniczne d0 → 3ct0. Przyjmując przykładowo obecny wiek Wszechświata t0 = 15 mld lat, mielibyśmy (teoretycznie) największe możliwe d0 ok. 45 mld lat świetlnych. Jest to jedna z możliwych definicji promienia tzw. horyzontu kosmologicznego RH(t) = 3ct.
Przejdźmy teraz do wyrażonego wcześniej pytania (4), dotyczącego drogi, jaką przebywa światło od chwili wyemitowania przez rozważany obiekt aż do chwili jego obecnej obserwacji.
Korzystając z (4) oraz z faktu, że każdy dystans można zapisać d = ||R(t), otrzymujemy
Przywołajmy jeszcze wzór (I.7) w ramce
| R(t) = (6πGρ0R03)1/3 t2/3 |
| |
oraz związki
i H0 = 2 / (3t0). Wszystko to wstawione do (8), pozwala po uporządkowaniu napisać
Otrzymaliśmy więc związek pomiędzy mierzoną wielkością „z” a wiekiem Wszechświata, t, w chwili emisji widocznego dziś światła z tego obiektu. Możemy (9) przekształcić do postaci
Światło biegło więc od obiektu do nas przez czas
| Δt = t0- t = t0 |
 |
1 - |
|
 |
| (11) |
i przebiegło dystans
| dp = cΔt = ct0 |
|
1 - |
|
|
| (12) |
Odległość ta nazywana bywa „odległością własną” (z ang. proper distance) obiektu. Widać, że tu w granicy, gdy z → ∞, mamy dp → ct0. Jest to jeszcze jeden rodzaj definiowania odległości kosmologicznych oprócz wprowadzonych wcześniej wielkości d0 i d1.
Powróćmy raz jeszcze do odległości d1 = d0 / (z + 1). Korzystając ze wzoru Mattiga (5) dla Ω = 1 oraz z wykorzystywanego już parokrotnie związku H0 = 2 / (3t0), możemy przepisać (5) w postaci
Wykorzystamy również zdefiniowany wcześniej promień horyzontu RH = 3ct. Mnożąc stronami (10) przez 3c, mamy
Patrząc na (13) i (14), widzimy, że
Łatwo sprawdzić, że dla z > 3 mamy d1 > RH, czyli nasz obiekt był w chwili emisji widocznego dziś światła poza „naszym” ówczesnym horyzontem kosmologicznym. Ponieważ promień horyzontu narasta liniowo z wiekiem Wszechświata (RH ∝ t), zaś wzajemne odległości zmieniają się jak R(r) ∝ t2/3 (czyli wolniej), a więc nasz analizowany obiekt obecnie, w chwili t0, jest już w obrębie naszego horyzontu, chociaż jego obserwowane obecnie światło pochodzi sprzed miliardów lat.
Można też sprawdzić, że funkcja d1(z) z formuły (13) ma ekstremum dla z = 1,25. Czytelnik znający rachunek
różniczkowy i sposoby szukania ekstremów funkcji łatwo to sobie wyliczy. Na użytek pozostałych czytelników prześledzimy to w poniższej tabelce, gdzie przyjęto przykładowo wartość t0 = 15 mld lat.
| |
| z |
d1(z) [mld l św.] |
| 0 |
0 |
| 0,1 |
1,90 |
| 0,5 |
5,50 |
| 1 |
6,58 |
| 1,25 |
6,66 |
| 1,5 |
6,61 |
| 2 |
6,34 |
| 3 |
5,62 |
| 5 |
4,44 |
|
Jak wiadomo, widoczny rozmiar kątowy obiektu, Δφ, (np. galaktyki) o pewnych ustalonych rozmiarach liniowych 'l' zależy od odległości, z której go oglądamy: im dalsza odległość, tym mniejszy rozmiar kątowy. Liczy się tu jednak odległość w chwili wysłania widocznego potem światła, albowiem ten obraz zobaczy później obserwator. W sytuacji kosmologicznej naszą podstawową obserwablą jest wielkość 'z'. Początkowo dla z ≤ 1, faktycznie ze wzrostem 'z' narasta odległość d1, a więc średni (typowy) rozmiar kątowy galaktyki maleje ze wzrostem 'z'. Jednak począwszy od z > 1,25, wielkość d1 znowu maleje, a to oznacza, że rozmiar kątowy rośnie. Odległość d1 określona formułą (13) nazywana bywa „odległością kątową”, właśnie ze względu na jej związek z kątowymi rozmiarami obserwowanego obiektu.
Przytoczyliśmy tu rozwiązanie dla modelu „płaskiego” (k = 0). Podobny jakościowo efekt zachodzi także dla modeli hipersferycznych (k = +1) oraz
hiperboloidalnych (k = -1). Jakościowo ilustruje to rysunek obok. Teoretycznie jest więc szansa, aby analizując kątowe rozmiary dalekich galaktyk
|
| |
Rys. Jakościowa ilustracja zależności kątowych rozmiarów obiektu, Δφ, od jego „poczerwienienia” kosmologicznego, z, dla trzech typów modeli Friedmana
|
| |
wybranego typu, rozstrzygnąć, który typ geometrii realizuje się w naszym Wszechświecie. Jednak w praktyce jest to bardzo trudne i niepewne. Po pierwsze, trudno zdefiniować „typowy” rozmiar liniowy galaktyki, a ponadto, mierząc kątowe rozmiary dalekich obiektów, trudno jest określić, gdzie jest ich brzeg na otrzymanym obrazie. Najsilniej bowiem świecą centralne części galaktyki i to one wyjdą najwyraźniej na zdjęciach. Obszary brzegowe mogą się słabo wyeksponować i pomiar rozmiarów takiego obiektu będzie zafałszowany.
Jednak powyższa metoda znalazła pewne zastosowanie przy analizie fluktuacji
promieniowania reliktowego. Promieniowanie reliktowe jest „obiektem”
o największej wartości „z” (rzędu z = 103) i wykazuje fluktuacje temperatury na poziomie δT ≤ 10-4 K. Analizowano bardzo starannie rozmiary kątowe tych fluktuacji (a ściślej, widmo rozmiarów kątowych). Można teoretycznie (przy pewnych rozsądnych założeniach) określić, jakie rozmiary kątowe, Δφ, fluktuacji powinny dominować w zależności od geometrii Wszechświata. Dla modelu „płaskiego” powinno to być Δφ ≈ 0,8. I taki właśnie rezultat otrzymano z analizy danych dla promieniowania reliktowego. Jak więc widać, tzw. „odległość kątowa” okazała się tu wielce przydatną wielkością i pozwoliła na stwierdzenie, że — z dużym poziomem ufności — nasz
Wszechświat jest geometrycznie euklidesowy.
Na koniec przedstawimy jeszcze jeden rodzaj (definicję) odległości związany z fotometrią dalekich obiektów. Wyobraźmy sobie źródło promieniowania emitujące izotropowo i mające moc promieniowania Lem (ang. luminosity). Jak wiemy, odbierane natężenie oświetlenia na jednostkę powierzchni maleje z kwadratem odległości, d, pomiędzy źródłem a odbiornikiem. W przypadku statycznej, nieekspandującej przestrzeni sytuacja jest prosta, rejestrowany strumień całkowity Sodb = Lem / (4πd2). Jednak w ekspandującym Wszechświecie wygląda to całkiem inaczej. W chwili emisji widocznego dziś światła odległość od źródła do miejsca naszych obserwacji wynosiła d1. Ta odległość zmienia się w czasie ekspansji o czynnik (z + 1), czyli d1 → d1(z + 1). Ponadto, na skutek „poczerwienienia” kosmologicznego, odbierana wielkość L ulega także zmniejszeniu o czynnik (z + 1)-2 tak, że Lodb = Lem / (z + 1)2. Pomijam tu szczegółowe uzasadnienie takiego akurat czynnika, można je prześledzić np. w [2] lub [3]. W ostateczności rejestrowany przez obserwatora strumień całkowity będzie
Pojawiająca się w (16) wielkość DL = d0(z + 1) nazywa się odległością bolometryczną (lub z ang. luminosity distance).
Korzystając znowu z formuły Mattiga (5) dla k = 0, otrzymujemy
| DL = |
|
|
(z + 1) - √(z + 1) |
|
| (17) |
Odległość DL ma sens czysto formalny. Otrzymywana z (17) liczba oznacza odległość, jaką w statycznym Wszechświecie musiałoby mieć źródło emitujące promieniowanie Lem, aby obserwator zarejestrował wielkość Sodb. Gdy przechodzimy do granicy z → ∞, to również DL → ∞. I nie ma w tym nic dziwnego, bowiem gdy poczerwienienie z → ∞, to obserwowany strumień
maleje do zera. W statycznej przestrzeni trzeba faktycznie nieskończonej odległości źródła od obserwatora, aby rejestrowany strumień zmalał do zera i to
m.in. odzwierciedla formuła (17).
Przedstawiając w niniejszym tekście problem odległości w kosmologii, wykorzystywano standardowe modele i rozwiązania Friedmana bez stałej kosmologicznej Λ. W ostatnich kilku latach Einsteinowska stała Λ wydaje się
wracać do łask, chociaż jej sens fizyczny nie jest dla nas do końca jasny. Wiadomo
jedynie, że uwzględnienie jej w rozwiązaniach kosmologicznych zmieni także przebieg funkcji R(t) w poszczególnych typach modeli. W szczególności, ekspansja kosmologiczna z udziałem członu Λ może stopniowo nabierać charakteru przyspieszającego. Uwzględnienie tego wyrazu zmieni także niektóre wyprowadzone tu wyrażenia na odległości (głównie dp oraz DL). Pozostaje jednak aktualny zasadniczy problem opisany w niniejszym artykule: gdy mówi się o wyznaczanych w kosmologii odległościach, to należy w miarę możliwości sprecyzować co ma się na
myśli, gdyż potoczne intuicje związane z tym pojęciem bywają w skali Wszechświata
zawodne.
Literatura
[1] M. Demiański, Astrofizyka relatywistyczna, PWN, 1991.
[2] M. Jaroszyński, Galaktyki i budowa Wszechświata, PWN, 1993.
[3] J. A. Peacock, Cosmological Physics, Cambridge Univ. Press, 1999.
prof. Jerzy Sikorski
(Źródło: „Urania — PA” nr 4/2003)
| |
|
|
|
