| |
|
9. Era leptonowa
| |
Cofamy się teraz jeszcze bardziej wstecz do okresu, gdy temperatura Wszechświata T > 109 K. W tych warunkach leptony (elektrony, miony, taony i ich neutrina) stają się cząstkami relatywistycznymi (ich m0c2 < kT). Widmo energetyczne cząstek zależy od typu statystyki kwantowej, której one podlegają. Jak wiadomo z fizyki statystycznej, rozkład ten jest inny dla fermionów (ze spinem ułamkowym), a inny dla bozonów (ze spinem całkowitym). Przypomnijmy więc niezbędne elementy dotyczące tzw. statystycznej funkcji rozkładu dla tych sytuacji.
* * * * * * * * * * * * * * * *
Statystyczna funkcja rozkładu opisuje gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstek w elemencie objętości d3x, z pędami w przedziale d3p:
znak (+) odpowiada fermionom, zaś (-) — bozonom, g — waga oznaczająca ilość spinowych stopni swobody.
Całkowanie po d3p daje koncentrację cząstek, n, oraz gęstość energii, ρ:
| n =∫f(x,p) d3p = |
 |
|
![]](pics/nawias_kw_math-p.gif) |
|
× 10.135 gT3 |
| (2) |
| ρ =∫p c f(x,p) d3p = |
|
|
|
|
× 3.78×10-15 gT4 |
| (3) |
Wagi g określone są następująco:
- a) bozony:
- — gb = 1 dla bezmasowych o spinie 0,
- — 2 dla bezmasowych o spinie >0 (np fotony),
- — 2s + 1 dla m > 0 oraz s > 0.
- b) fermiony:
- — gf = 1 dla bezmasowych (np. neutrino, jeśli jest bezmasowe),
- — 2s + 1 dla m > 0.
[gdy kreują się pary fermion - antyfermion, to ich wagi trzeba brać podwójnie].
Całkowita wartość g dla mieszaniny bozonów i fermionów jest sumą wag:
przy czym wagi gb oraz gf też są sumami po wszystkich występujących w mieszaninie rodzajach bozonów oraz fermionów (według powyżej opisanego schematu).
* * * * * * * * * * * * * * * *
W epoce leptonowej, jedynymi relatywistycznymi bozonami są fotony γ, zaś relatywistycznymi fermionami trzy generacje leptonów:
oraz ich antycząstki. Mamy więc następujący sposób liczenia sumarycznej wagi 'g':
| g = gγ + |
|
(ge± + gμ± + gτ± + gνe + gνμ + gντ) = |
| = 2 + |
|
[2(2s + 1) + 2(2s +1) + 2(2s +1) + 2 + 2 + 2] = 17 |
|
| (5) |
Leptony μ oraz τ są nietrwałe i po ok. 10-12 s rozpadają się na e± oraz trzy typy neutrin (te ostatnie są trwałe i traktowane tu bezmasowo). W miarę ekspansji, gdy temperatura spadnie nam do ok. T = 0.1 MeV, pozostanie tylko:
| g = gγ + |
|
(ge± + 3gν) = 2 + |
|
(4 + 6) = 10 |
|
| (6) |
Każda dodatkowa generacja leptonów (gdyby istniała) zwiększa tę wartość (!!!) i rzutuje na tempo ewolucji termicznej Wszechświata.
We wczesnym gorącym Wszechświecie mamy dwa poznane już związki:
oraz
Z nich, po podstawieniu, otrzymuje się:
lub
(gdzie temperatura T w MeV).
Wzór ten opisuje temperaturową historię wczesnego i gorącego Wszechświata, zaś istotnym czynnikiem jest tu sumaryczna wielkość g(T), która w tym sensie zależy od T, że różne rodzaje cząstek są istotne na różnych etapach historii temperaturowej. Dla omawianej poprzednio ery promieniowania, gdzie jedynymi relatywistycznymi cząstkami były fotony γ oraz neutrina, mamy g = 7.25, temperatura maleje z czasem jak T(t) = 0.955/√(t) [MeV]. W erze leptonowej zaś, czynnik g zmienia się od 17.75 na początku do 10.75 na końcu tej ery. Gdyby zaś okazało się, że neutrina mają masę, to przy obliczaniu ich czynnika gn, należałoby dla nich brać wielkości 2(2s + 1) = 4 (podobnie jak dla elektronów czy mionów). To by zwiększyło sumaryczną wartość g, a tym samym spowolniło tempo stygnięcia Wszechświata i odbiło się pośrednio na przebiegu pierwotnej nukleosyntezy.
Na początku ery leptonowej (ok. 10-4 s od Wielkiego Wybuchu) przy temperaturach rzędu 1011 K (10 MeV) w równowadze są procesy kreacji i anihilacji par lepton - antylepton. W miarę spadku temperatury (a więc i energii fotonów γ) następuje najpierw nieodwracalna anihilacja leptonów τ (jako najmasywniejszych), a następnie mionów. Najdłużej utrzymuje się równowaga kreacji i anihilacji par elektron - pozyton oraz ich oddziaływań z neutrinami
| γ + γ ↔ e+ + e- ↔ |
| γ + γ |
|
ν +  |
|
| |
Tempo takich reakcji (ilość procesów na sekundę) — Γ(T) — wyrazić można:
Gdzie: σ(T) ∝ T2 — przekrój czynny na daną reakcję [rzędu 10–38 do 10–44 cm2], n(T) ∝ gT3 — koncentracja reagujących cząstek [cm–3] (wg formuły (2)), v(T) — termiczna prędkość cząstek — tu rzędu 'c'.
Tempo ekspansji (a więc i chłodzenia) Wszechświata opisuje parametr Hubble'a H, który w przybliżeniu modelu płaskiego jest w postaci:
przy czym gęstość energii gazu relatywistycznego (wg formuły (3)), to ρ ∝ gT4.
Dopóki tempo reakcji oddziaływań z neutrinami, Γ, jest większe niż charakterystyczne tempo ekspansji, H, to neutrina są w równowadze termicznej z elektronami (i pozytonami). Gdy jednak przy pewnej temperaturze Td nastąpi odwrócenie tej zależności — czyli Γ(Td) ≤ H(Td), to wówczas następuje termiczne „oddzielenie się” neutrin od reszty leptonów. Powstaje reliktowe tło neutrinowe (analogiczne do odkrytego już tła promieniowania reliktowego), a jego temperatura maleje dalej zgodnie z prawidłowością RT = const, czyli Tν ∝ R–1, zaś koncentracja neutrin nν ∝ R–3. Temperatura Td (tzw. decoupling temperature), przy której następuje oddzielenie się tła neutrinowego, jest rzędu 2.5×1010 K.
W końcowej fazie ery leptonowej następuje nieodwracalna anihilacja par elektron - pozyton. Powoduje to pewne podgrzanie dotychczasowego tła fotonowego, nie wpływa natomiast na temperaturę tła neutrinowego. Tak więc tło promieniowania reliktowego staje się (i pozostaje do dziś) nieco cieplejsze od tła neutrinowego. Z rozważań termodynamicznych dla sytuacji przed i po anihilacji par, otrzymuje się zależność pomiędzy temperaturą fotonów Tγ, a temperaturą neutrin Tν:
 |
|
 3 |
= |
| g[po_anihilacji] |
|
| g[przed_anihilacją] |
|
= |
|
| (11) |
Jeśli więc obecna temperatura tła promienistego wynosi 2.75 K, to dla tła neutrinowego otrzymuje się ok. 1.96 K. Ewentualne odkrycie tła neutrinowego byłoby wielkim sukcesem teorii gorącego Wszechświata.
Neutrina a problem ciemnej materii we Wszechświecie
Obecne dane obserwacyjne wskazują na to, że gęstość materii barionowej jest wyraźnie mniejsza od tzw. gęstości krytycznej charakteryzującej płaski model kosmologiczny. Przy takiej gęstości, tempo ekspansji powinno być wyraźnie większe niż obserwowane. Pojawił się więc problem brakującej ciemnej materii. Wśród kandydatów na taką materię rozważa się m.in. także tło neutrinowe, dopuszczając przy tym ewentualność tego, że neutrina mogłyby mieć pewną niezerową masę. Z formuły (2) możemy określić koncentrację reliktowych neutrin względem koncentracji reliktowych fotonów:
Ponieważ nγ ≈ 400 na cm3 (patrz rozdział o erze promieniowania), więc dla neutrin dostaniemy nν ≈ 110 cm–3 dla każdej generacji z osobna (razem ok. 330 na cm3). Dla modelu neutrin bezmasowych możemy ze wzoru (3) oszacować gęstość energii tła neutrinowego: ρν ≈ 3ργ ∝ 10-34 [g/cm3], a więc porównywalne z gęstością energii tła promieniowania. Widać więc, że neutrina bezmasowe nie wnoszą znaczącego wkładu do materii Wszechświata. Gdyby zaś neutrina miały niezerową masę, np. ok. 25 eV (4.4×10-32 g), to ich gęstość byłaby ok. 2×10-29 g/cm3, a więc porównywalna z gęstością krytyczną. Jak dotychczas brak jednoznacznego potwierdzenia na masę neutrin. Są poszlaki wskazujące na pewną możliwość różnej od zera masy neutrin elektronowych i mionowych, jednak górne oszacowania nie przekraczają kilku eV. Otwarty pozostaje problem masy neutrina taonowego. Przypuszcza się, że może ono mieć wystarczającą masę. Może więc to właśnie ten rodzaj neutrin stanowi ponad 90% całej masy Wszechświata?
prof. Jerzy Sikorski
| |
|
|
|
