| |
|
7. Horyzont kosmologiczny
| |
Odkryte przez Hubble'a prawo ekspansji wszechświata: v = Hd, sugeruje natychmiast, że istnieje pewna maksymalna odległość 'd', przy której prędkość oddalania się obiektów równa się prędkości światła (v = c). Gdyby parametr Hubble'a był wielkością stałą w czasie (H = H0) to obliczenie owej maksymalnej odległości byłoby trywialne (dmax = c/H0). Wiadomo jednak, że H = H(t) i trzeba ten fakt uwzględniać.
W rozdziale „Prawo Hubble'a” przedstawiona była formuła Mattiga określająca obecną odległość 'd0' do obiektu o przesunięciu ku czerwieni równym 'z'. Dla wszechświata o geometrii euklidesowej formuła ta miała postać:
| d0 = |
|
|
 |
1 - |
|
![]](pics/nawias_kw_math-p.gif) |
| (1) |
Gdy v → c to z → ∞ a tym samym d0 → dmax = 2c/H0. Jednocześnie w rozdziale „Kosmologiczne rozwiązania równań Einsteina” mieliśmy dla wszechświata „płaskiego” zależności: R(t) = const t2/3 oraz H(t) = 2 / 3t. Dla chwili obecnej t = t0, H(t0) = H0 otrzymamy dmax = 3ct0. I to właśnie jest odległość do horyzontu kosmologicznego w euklidesowym wszechświecie. Nazywa się go horyzontem cząstek, od których w chwili t0 możemy otrzymywać sygnały świetlne.
Aby rozwiązać zagadnienie horyzontu dla modeli wszechświata o innych typach geometrii (hipersferycznej lub hiperboloidalnej) rozważmy sygnał świetlny wysłany z odległej galaktyki o współrzędnych (r1, Θ1, φ1) w chwili t1 i odebrany przez obserwatora w punkcie (r0 = 0, Θ0, φ0) w chwili t0. Przyjmijmy dla prostoty, że sygnał ten biegnie tylko wzdłuż współrzędnej radialnej czyli Θ1 = Θ0; φ1 = φ0; dΘ = dφ = 0. Wówczas interwał czasoprzestrzenny pomiędzy wysłaniem i odbiorem tego sygnału świetlnego można zapisać:
a stąd:
|
|
|
= |
|
|
= |
 |
| arcsin(r1) | dla | k = +1 |
| r1 | dla | k = 0 |
| arcsh(r1) | dla | k = -1 |
|
| |
Postać funkcyjna R(t) zależy od rozważanego modelu kosmologicznego a więc od wartości parametru 'k'.
Zbadajmy teraz zachowanie się naszych całek, gdy chwila t1 → 0, czyli do początku ekspansji. Gdy całka
jest skończona i równa np. C0, to również całka z prawej strony musi dawać w wyniku tę samą wartość liczbową C0. Musi więc wtedy istnieć górna granica tej całki — r1 ≡ rH(t0), przy której:
Właśnie ta wartość granicy całkowania r1 ≡ rH(t0), jest radialną współrzędną horyzontu cząstek, natomiast odległość do tego horyzontu w chwili t0 wynosi:
| RH(t0) = rH(t0) R(t0) ≡ dmax |
| (5) |
(przypominamy, że współrzędna radialna 'r' jest tu bezwymiarowa, natomiast R(t) ma wymiar długości). Sprawdźmy jeszcze otrzymany rezultat na przykładzie modelu płaskiego (k = 0). Dla niego
| R(t) = (6πGρ0R03)1/3 t2/3 |
| (6) |
a więc korzystając z (3) dostaniemy:
|
|
|
= |
|
|
|
|
= 3c |
|
|
1/3 |
= |
|
dr = rH(t0) |
| (7) |
Wstawiając ten wynik do (5), przy wykorzystaniu (6) dostaniemy odległość do horyzontu dmax = 3ct0 — czyli tak, jak z formuły Mattiga. Zwróćmy jeszcze na koniec uwagę, że rozmiar horyzontu RH(t) ∝ t rośnie tu szybciej niż ekspansja wszechświata R(t) ∝ t2/3, a więc z biegiem czasu coraz większy obszar wszechświata staje się dostępny obserwacjom z wybranego miejsca r0. Po nieskończenie długim czasie obserwowalny może być (w modelu płaskim) cały wszechświat.
W modelu o geometrii hipersferycznej mamy skończoną objętość wszechświata i do chwili t = tmax, w której wszystkie odległości osiągają maksimum (R(tmax) = Rmax), w zasięgu horyzontu znajdzie się cała przestrzeń takiego wszechświata. Następnie, w fazie kurczenia się przestrzeni, obserwator w punkcie 'r0' najdalsze obiekty będzie widział „podwójnie” — czyli z dwóch przeciwnych kierunków. Będą to obiekty położone wokół „antypodów” obserwatora i obszar ten będzie stopniowo narastał.
Natomiast w modelu hiperbolicznym, nawet po nieskończonym czasie nie będzie można widzieć całej nieskończonej przestrzeni.
O problemie odległości raz jeszcze
Przypomniano już tu powyżej, że tzw. „obecna” odległość d0 obiektu o przesunięciu ku czerwieni równym 'z', wyraża się formułą (1):
| d0 = |
|
|
|
1 - |
|
|
, |
| |
zaś odległość w chwili emisji widocznego dziś światła d1 równa jest d1 = d0/(z + 1). Gdy światło biegnie od obiektu ku nam, jednocześnie trwa ekspansja kosmologiczna. Rozważajmy przykładowo nadal model „płaski”, dla którego prawo ekspansji wyraża się formułą (6) R(t) = (6πGρ0R03)1/3 t2/3, przy czym zawsze spełniona jest formuła na „poczerwienienie kosmologiczne” R0 = R(1 + z) (indeks „0” odnosi się zawsze do chwili obecnej). Podstawiając tę zależność do (6) otrzymamy
Jednocześnie w modelu płaskim mamy znane już związki: ρ0 = 3H02/8πG, które wstawione do (8) pozwalają powiązać 'z' z wiekiem wszechświata 't' w chwili emisji widocznego dziś światła:
| z(t) + 1 = |
 |
|
 2/3 |
| (9) |
lub
Światło biegło więc od obiektu do „nas” przez czas Δt = t0 - t i przebiegło dystans
| dp = cΔt = ct0 |
|
1 - |
|
|
| (11) |
Odległość ta nazywana bywa „odległością własną” (proper distance) obiektu o przesunięciu kosmologicznym 'z'. Jest to jeszcze jeden rodzaj określania odległości obiektów w kosmologii oprócz wprowadzonych wcześniej definicji d0 oraz d1.
Wróćmy jeszcze raz do wielkości d1 = d0/(z + 1). Zapiszmy ją w postaci jawnej
Promień horyzontu RH w chwili 't' jest RH(t) = 3ct, co biorąc pod uwagę (10) pozwala napisać
Porównując to z (12) możemy napisać
| d1 = RH(z) (√(z + 1) - 1) |
| (14) |
i dla z > 3 mamy d1 > RH, czyli obiekt taki był w chwili emisji widocznego dziś światła poza „naszym” ówczesnym horyzontem kosmologicznym (ściślej mówiąc — poza horyzontem miejsca o naszych stałych współekspandują-cych współrzędnych). Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami rozmiar horyzontu narasta jak RH(t) ∝ t, zaś tempo ekspansji jest R(t) ∝ t2/3 (czyli wolniejsze), więc obiekt ten w chwili obecnej t0 jest już w naszym zasięgu widoczności (choć widzimy światło sprzed wielu, wielu lat).
Łatwo też sprawdzić, że funkcja d1(z) z formuły (11) ma ekstremum dla z = 1.25. Prześledzimy to w poniższej tabelce (biorąc przykładowo t0 = 10 mld lat).
| z |
d1(z) [mld lat św.] |
| 0 |
0 |
| 0.1 |
1.27 |
| 0.5 |
3.67 |
| 1 |
4.39 |
| 1.25 |
4.44 |
| 1.5 |
4.41 |
| 2 |
4.226 |
| 3 |
3.75 |
| 5 |
2.96 |
Jak wiadomo, rozmiar kątowy obiektu, Δφ (np. galaktyki) o pewnych ustalonych rozmiarach liniowych 'l' zależy od odległości, z której go oglądamy — im dalsza odległość, tym mniejszy rozmiar kątowy. Liczy się tu jednak odległość w chwili wysłania widocznego potem światła albowiem ten obraz później zobaczy obserwator. W sytuacji kosmologicznej naszą podstawową obserwablą jest wielkość 'z'. Początkowo, dla z ≤ 1 faktycznie ze wzrostem z narasta odległość d1, a więc średni (typowy) rozmiar kątowy galaktyki maleje ze wzrostem 'z'. Jednak począwszy od z ≥ 1.25 wielkość d1 znowu maleje, a to oznacza, że rozmiar kątowy rośnie. Odległość d1 określona formułą (12) nazywana bywa „odległością kątową” obiektu, właśnie ze względu na jej związek z kątowymi rozmiarami obserwowanego obiektu. Przytoczyliśmy tu rozwiązanie dla modelu płaskiego (k = 0). Podobny jakościowo efekt zachodzi także dla modeli hipersferycznych (k = +1) oraz hiperboloidalnych (k = -1).
Jakościowo ilustruje to powyższy rysunek. Teoretycznie jest więc szansa aby analizując kątowe rozmiary dalekich galaktyk wybranego typu rozstrzygnąć, który typ geometrii realizuje się w naszym wszechświecie. W praktyce jednak jest to bardzo trudne i niepewne. Po pierwsze, trudno zdefiniować „typowy” rozmiar liniowy galaktyki a ponadto, mierząc kątowe rozmiary dalekich obiektów, trudno jest określić gdzie jest ich brzeg na otrzymanym obrazie. Najsilniej bowiem świecą centralne części galaktyki i to one wyjdą najwyraźniej na zdjęciach. Obszary brzegowe mogą się słabo wyeksponować i pomiar rozmiarów takiego obiektu będzie zafałszowany.
Jednak metoda powyższa znalazła pewne zastosowanie przy analizie fluktuacji promieniowania reliktowego (patrz rozdział — „Wczesne etapy ewolucji Wszechświata”). Promieniowanie reliktowe jest „obiektem” o największej wartości 'z' (rzędu z = 1000) i wykazuje fluktuacje temperatury na poziomie δT ≤ 10-4 K. Analizowano bardzo starannie rozmiary kątowe tych fluktuacji (a ściślej — widmo tych rozmiarów kątowych). Można teoretycznie (przy pewnych rozsądnych założeniach) określić jakie rozmiary kątowe Δφ fluktuacji, powinny dominować w zależności od geometrii wszechświata. Dla modelu płaskiego powinno to być Δφ ≈ 0.8°. I taki właśnie rezultat otrzymano z analizy danych dla promieniowania reliktowego. Jak więc widać, tzw. „odległość kątowa” okazała się wielce przydatną wielkością i pozwoliła na stwierdzenie, że — z dużym poziomem ufności — wszechświat jest płaski.
prof. Jerzy Sikorski
| |
|
|
|
