| |
|
3. Prawo Hubble'a
| |
Już w 1912 roku V. M. Slipher odkrył, że linie widmowe prawie wszystkich galaktyk (za wyjątkiem kilku najbliższych) przesunięte są w różnym stopniu w stronę długofalową — ku czerwieni. Jednak dopiero w roku 1929 E. Hubble, badając skrupulatnie widma galaktyk o znanych już wówczas odległościach (wyznaczonych różnymi metodami), stwierdził istnienie liniowej korelacji pomiędzy przesunięciem ku czerwieni linii widmowych, a odległością do galaktyki. Interpretując to przesunięcie widma jako efekt Dopplera wysunął śmiałą hipotezę, że Wszechświat jako całość ekspanduje i wszystkie odległości w nim rosną z czasem, a prędkość wzajemnego oddalania się spełnia zależność:
gdzie d — odległość do galaktyki, zaś H — współczynnik proporcjonalności nazwany później stałą Hubble'a. Jak zobaczymy poniżej, określenie „stała” nie jest w ogólności trafne, gdyż wielkość ta zmienia się w kosmologicznej skali czasu. Lepiej jest więc używać nazwy — parametr Hubble'a, zaś dla wartości tego parametru w obecnym czasie t0 wprowadzono oznaczenie H0 i dla niego termin „stała” jest już w pełni adekwatny. Wielokrotnie weryfikowano obserwacyjnie wartość stałej Hubble'a H0 i pomiary te wciąż są powtarzane. Na ich podstawie przyjmuje się obecnie wartość H0 = 65 ± 8 km/s/Mpc. Oznacza to, że z każdym megaparsekiem odległości prędkość oddalania się obiektu od dowolnie wybranego punktu początkowego narasta o ok. 65 km/s. Ponieważ występujące w jednostkach stałej Hubble'a kilometry oraz megaparseki można wyrazić w metrach więc, po uproszczeniu przez metry, podstawową jednostką dla wielkości H jest [s-1] czyli odwrotność czasu. Czas ten, czyli (H0)-1 jest co do rzędu wielkości porównywalny z wiekiem Wszechświata.
Odkrycie Hubble'a stało się inspiracją do poszukiwania takich modeli kosmologicznych, które zawierałyby w sobie możliwość ekspansji. Omawiane one będą w rozdziale „Kosmologiczne rozwiązania równań Einsteina”.
Funkcjonowanie prawa Hubble'a możemy zademonstrować graficznie na przykładzie modelu Wszechświata o geometrii typu sferycznego. Niech naszą trójwymiarową przestrzeń reprezentuje dwuwymiarowa powierzchnia sfery, na której wybieramy dwa punkty — np. galaktyki (1) i (2). Promień tej sfery i jej środek nie należą już do naszej powierzchni — są poza nią, a więc jakby poza tym modelowym wszechświatem. Oznaczamy sobie przez R(t) promień sfery w chwili t zaś przez R(t + Δt) promień po pewnym czasie Δt. Podobnie odległości pomiędzy wybranymi punktami oznaczymy odpowiednio przez d oraz d'. Jak widać, punkty symbolizujące galaktyki oddaliły się od siebie nie na skutek ruchów własnych po powierzchni lecz na skutek ekspansji samej sfery.
Możemy więc napisać prostą proporcję:
Stąd:
Zmiana odległości pomiędzy punktami (1) i (2) będzie:
Dzieląc stronami przez przyrost czasu Δt dostaniemy prędkość oddalania się
Rozpoznajemy w tym wyrażeniu znany iloraz różnicowy (w granicy pochodną). Możemy zrobić więc podstawienie:
| H = H(t) = |
|
|
|
:= |
 |
|
| R |
|
| (6) |
po którym formuła (5) uzyskuje postać prawa Hubble'a v = H • d. Widzimy więc jawnie, że parametr Hubble'a H jest zmienny w czasie a tempo tej zmiany zależy od typu modelu kosmologicznego. W rozdziale o rozwiązaniach kosmologicznych pokażemy, że np. dla modelu o geometrii euklidesowej zależność H(t) jest
Pomiary Hubble'a z lat 20. dotyczyły galaktyk o odległościach kilkadziesiąt (lub niewiele ponad 100) milionów parseków. W tej sytuacji względnie dobrym przybliżeniem było stosowanie nierelatywistycznego wzoru Dopplera na przesunięcie ku czerwieni:
Gdy później odkryto bardziej odległe galaktyki oraz kwazary o bardzo dużych przesunięciach widm, koniecznym stało się stosowanie relatywistycznego wzoru Dopplera:
Jak widać z niego, gdy z → ∞ to v → c. Obecnie najdalsze (i zarazem najstarsze) zaobserwowane galaktyki i kwazary mają przesunięcia ku czerwieni z > 5. Za najstarszy obserwowany obiekt we Wszechświecie można uznać reliktowe promieniowanie tła, które w chwili termodynamicznego oderwania się od materii miało temperaturę kilku tysięcy Kelwinów, obecnie zaś ma T = 2.75 K. Odpowiadające tej zmianie temperatury przesunięcie ku czerwieni termicznego widma tego promieniowania, daje wartość 'z' rzędu 103.
Problem odległości przy dużych wartościach 'z'.
Prawo Hubble'a w formie (1) może służyć do wyznaczania odległości do galaktyk i kwazarów. Przy niezbyt dużych wartościach przesunięcia ku czerwieni (z < 1) dobrym przybliżeniem jest stosowanie wartości H0. Jednak, jak to już stwierdziliśmy, parametr Hubble'a zmienia się w czasie. Nie możemy więc używać wartości H0 dla bardzo odległych obiektów (rzędu miliardów lat świetlnych), gdyż przed miliardami lat wartość parametru Hubble'a była istotnie różna od dzisiejszej. Jednocześnie, w chwili emisji obserwowanego dziś światła takiej galaktyki była ona znacznie bliżej nas niż jest w tej chwili, gdyż wszystkie odległości we Wszechświecie były wówczas mniejsze. Światło biegło od galaktyki do nas, a w tym czasie Wszechświat rozszerzał się i to ze zmienną w czasie prędkością. Powstaje więc problem — co w tym kontekście znaczy „odległość do galaktyki” wyznaczana z prawa Hubble'a. Czy chodzi o odległość w chwili emisji widocznego dziś światła tej galaktyki, czy też o odległość do niej w chwili obecnej.
Zagadnienie to zostało rozwiązane w latach 50. przez Mattiga. Przytoczymy tu końcowy rezultat tego rozwiązania. Obecna odległość do galaktyki, d0, z obserwowaną wartością poczerwienienia — z wyraża się:
| d0 = |
|
|
| Ωz + (Ω - 2)[√(1 + Ωz) - 1] |
|
| Ω2(z + 1) |
|
| (10) |
gdzie:
czyli stosunek średniej gęstości materii we Wszechświecie do tzw. gęstości krytycznej charakteryzującej Wszechświat o geometrii euklidesowej z k = 0.
Natomiast odległość d1 do tego samego obiektu w chwili wyemitowania obserwowanego dziś światła wyraża się wzorem:
W szczególności dla euklidesowego modelu Wszechświata, (gdy Ω = 1), formuła (10) upraszcza się do postaci:
| d0 = |
|
|
 |
1 - |
|
![]](pics/nawias_kw_math-p.gif) |
| (12) |
Widać z niej, że w granicy
| d0 |
| z → ∞ |
 |
| |
|
|
|
| (13) |
Jest to właśnie odległość do horyzontu kosmologicznego. Ponieważ dla modelu euklidesowego otrzymaliśmy zależność H(t) = 2 / 3t więc podstawiając do (13) obecną chwilę t = t0, dostaniemy d0 = 3ct0 jako współczesną odległość do horyzontu.
Dla małych wartości z << 1 możemy (11) rozwinąć w szereg względem z:
| d0 = |
|
|
|
1 - |
|
|
≈ |
|
|
|
z + … |
| (14) |
Otrzymujemy wówczas:
czyli znane liniowe prawo Hubble w postaci (1).
Przykładowo dla jednej z galaktyk rekordzistek obserwowana wartość z = 5.25. Dla niej przy Ω = 1 oraz H0 = 65 km/s/Mpc = 2.106 × 10-18 s-1 (czyli H0-1 = 15 mld lat) dostaniemy d0 = 18 mld lat świetlnych, zaś d1 = d0 / 6.25 = 2.88 mld lat świetlnych.
prof. Jerzy Sikorski
| |
|
|
|
