Inflacyjna faza ekspansji Wszechświata - "URANIA - Postępy Astronomii"

KOSMOLOGIA — wybrane zagadnienia

prof. Jerzy Sikorski

Spis treści ×

12. Inflacyjna faza ekspansji Wszechświata

I. Trudności modeli friedmannowskich

Wszystkie rozwiązania kosmologiczne Friedmanna posiadają osobliwość matematyczną w punkcie t = 0 [R(t = 0) = 0]. Wprawdzie rozumiemy już obecnie, że w kosmologii bazującej na OTW ostateczną granicą stosowalności jest tzw. skala planckowska:

l_p = √(Gh/c³) = 1.6×10^-33 cm

t_p = √(Gh/c⁵) = 5.4×10^-44 cm

m_p = √(ch/G) = 2.2×10^-5 g

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

c⁵

= 5.2×10⁹³ g/cm³

= 1.3×10³² K

jednak nawet startowanie z rozwiązaniami Friedmanna od chwili t = t_p powoduje pewne kłopoty. Omówimy tu najważniejsze z nich.

1. Problem horyzontu

W rozdziale „Horyzont kosmologiczny” zdefiniowany został tzw. horyzont cząstek jako obszar (zbiór) zdarzeń, które mogą być przyczynowo powiązane. (W obszarze takim może się np. wyrównywać temperatura). W szczególności dla modelu wszechświata „płaskiego” rozmiar horyzontu zwiększa się liniowo z czasem jak R_H(t) = R(t)r_H = 2c/H(t) = 3ct, natomiast wzajemne odległości narastają z czasem jak R(t) ∝ t^2/3, a więc wolniej. Zasięg horyzontu wokół wybranego punktu — pomimo ekspansji — obejmuje stopniowo coraz większy obszar.

Rozważmy dla pewnej — bardzo wczesnej — chwili 't₁' pewien spory obszar wszechświata o objętości V(t₁) = 4/3 πR³(t₁). W tej samej chwili 't₁', objętość dowolnego obszaru przyczynowo powiązanego — czyli objętość wewnątrz horyzontu wynosi V_H(t₁) = 4/3 πR_H³. Wielkość:

określa, ile takich przyczynowo rozłącznych obszarów mieści się w objętości V(t₁). Ponieważ jednak r_H(t) ∝t^1/3 (patrz formuła (7) w rozdziale „Horyzont kosmologiczny”), to ilość rozłącznych obszarów N(t) w objętości V(t) maleje nam w czasie jak N(t) ∝ t^-1. Czyli, dzisiejszy obszar dostępnego naszym obserwacjom horyzontu składał się kiedyś (np. w erze dominacji promieniowania lub jeszcze dawniej) z wielu przyczynowo rozłącznych podobszarów. Zastanawiająca jest więc w tej sytuacji tak duża jednorodność temperaturowa promieniowania reliktowego obserwowana obecnie. W jaki sposób wyrównały się temperatury (i to z dokładnością do 0.001 K) w obszarach, które kiedyś były przyczynowo rozłączne. Trudno bowiem uwierzyć w samoistną jednorodność tej temperatury i brak jakichkolwiek większych fluktuacji w całym wczesnym wszechświecie. I tu właśnie pewną propozycją staje się koncepcja „inflacyjnej fazy ekspansji”, w czasie której tempo ekspansji R(t) było dużo większe (np. eksponencjalne) i przewyższało rozprzestrzenianie się obszarów horyzontu R_H(t). Wówczas to, co dziś obserwujemy jako nasz horyzont kosmologiczny, pochodziłoby z „inflacyjnego” rozdęcia jednego z wielu dawnych niewielkich obszarów przyczynowo powiązanych.

2. Problem płaskości Wszechświata

Podstawowym parametrem, który decyduje o zachowaniu się funkcji R(t) w rozwiązaniach kosmologicznych Friedmanna, jest średnia gęstość materii we wszechświecie. Jak wiemy, istnieje tzw. gęstość krytyczna ρ_c = 3H² / 8πG, dla której otrzymuje się model „płaski”. Wprowadza się też pomocnicze oznaczenie Ω := ρ/ρ_c, jako parametr charakteryzujący typ modelu kosmologicznego.

Obecna dokładność danych obserwacyjnych pozwala określić dopuszczalny zakres tego parametru jako Ω₀ = 1 ± 0.7. Ten pozornie szeroki przedział obecnej niepewności oznacza jednak, że już pod koniec ery dominacji promieniowania, parametr ten musiał być określony z dokładnością ułamka promila. Napiszmy raz jeszcze nasze równanie kosmologiczne H² - 8πGρ / 3 = - kc² / R² w postaci:

Pomnożymy je stronami przez 3 / 8πGρR² i podstawiając definicję gęstości krytycznej ρ_c oraz parametr Ω, możemy je przekształcić do formuły

gdzie stała C = - 3kc² / 8πG. Jednocześnie wiemy, że ρ_cR₀³ = ρR³ oraz R₀ = R(1 + z). Stąd ρR² = ρ₀R₀²(1 + z). (Indeks '0' odnosi się jak zwykle do chwili obecnej oraz z = 0). Możemy więc dla naszego równania napisać

ρ₀R₀²(1 + z)

To zaś w prosty sposób przekształcimy do postaci

Łatwo policzyć, że nawet jeśli obecnie parametr Ω₀ znany byłby z niepewnością rzędu Ω₀ = 1 ± 0.7, to dla ery promienistej, gdy z = 10⁴ mamy Ω₀ = 1 ± 2×10^-4, natomiast w pobliżu chwili t = t_p = 10^-44 s parametr ten musiał być określony z fantastyczną wręcz dokładnością Ω = 1 ± 10^-60. Gdyby dopasowanie to było trochę mniejsze, np. Ω = 1 ± 10^-55, to albo mielibyśmy hipersferyczny model wszechświata o czasie trwania swojego cyklu poniżej 1 mld lat lub też model hiperboliczny ekspandujący zbyt szybko, aby mogły uformować się galaktyki. Natomiast zaproponowana inflacyjna faza ekspansji wczesnego wszechświata jest w stanie usprawiedliwić to niezwykłe wręcz „spłaszczenie” globalnej geometrii przestrzeni.

3. Problem warunków początkowych Wszechświata

Obserwowalny obecnie obszar wszechświata jest rzędu kilkunastu mld lat świetlnych, czyli R(t₀) ≡ R₀ ≈ 10²⁸ cm i ma temperaturę T₀ ≈ 3K. Jak wiadomo (patrz formuła (5) w rozdz. „wczesne etapy ewolucji Wszechświata”) przy adiabatycznej ekspansji zachodzi związek R(t)T(t) = const, czyli R₀T₀ = R₁T₁. W pobliżu warunków planckowskich, gdy T₁ = T_p = 10³²K, otrzymamy z powyższego związku R₁ ≈ 10^-4 cm, zamiast spodziewanego rozmiaru planckowskiego l_p ∼ 10^-33 cm. Jeśli natomiast wystartujemy z warunków planckowskich jako warunków początkowych w rozwiązaniach Friedmanna, to otrzymamy w rezultacie hipersferyczny model wszechświata o czasie trwania cyklu rzędu t_p ∼ 10^-44 s. Widać więc wyraźnie, że parametry planckowskie (1) nie mogą być warunkami początkowymi rozwiązań kosmologicznych, gdyż prowadzą do rezultatów sprzecznych z obecnymi danymi obserwacyjnymi.

4. Stare idee w nowej sytuacji

Opisane powyżej kłopoty modeli Friedmanna stały się inspiracją dla pomysłu zaistnienia na początku Wielkiego Wybuchu fazy krótkotrwałej, lecz bardzo gwałtownej ekspansji — tzw. „inflacji” (główni twórcy tej idei to A. Guth i A. Linde). Powrócono tu do dwóch starych koncepcji — do rozwiązania de Sittera (tzn. pusty i ekspandujący świat) oraz do rozwiązań ze stałą kosmologiczną (patrz rozdział: „Problem stałej kosmologicznej, fatalna czy genialna pomyłka Einsteina?”) — wśród których istnieją rozwiązania z bardzo szybką (eksponencjalną) ekspansją. Koncepcje te znalazły się teraz w nowym kontekście, uzupełnione wiedzą z zakresu teorii pola.

W rozdz. „Problem stałej kosmologicznej, fatalna czy genialna pomyłka Einsteina?” mieliśmy równania kosmologiczne:

²

²

z których przy k = 0, p = ρ = 0 oraz Λ > 0 otrzymuje się rozwiązanie:

R(t) = R₀exp[√(Λc²/3)t]

W tym przypadku parametr Hubble'a H =

/R = √(Λc²/3) = const.

Dla modeli z k = ± 1 rozwiązania te mają odpowiednio postać:

cosh(√(Λc²/3)t)	dla	k = +1

sinh(√(Λc²/3)t)	dla	k = -1

We wspominanym rozdziale otrzymaliśmy też związek:

(ρc² + 3p - p_vacuum)

gdzie: p_vacuum = (c⁴/4πG)Λ. Jednocześnie różniczkując równanie (8) po czasie i wstawiając otrzymane d²R/dt² do równania (9), dostaniemy po uporządkowaniu:

= - 3H(ρc² + p)

W rozwiązaniu de Sittera było ρ = p = 0, a stąd (ρc² + p) = 0 (tzw. warunek zachowawczy).

Zauważono jednak, że formalnie można przyjąć ogólniejszy warunek: ρ = const, p = const. Wówczas cała prawa strona równań (8) i (9) to stałe a ich rozwiązania nadal są typu de Sittera (10) i (11), tylko stałe pod pierwiastkiem zamiast Λc² / 3 będą teraz Λc² / 3 + 8πGρ / 3. Ponadto przyjęcie ρ = const oznacza, że z warunku (ρc² + p) = 0 otrzyma się osobliwe dość równanie stanu:

dopuszczające ujemną gęstość energii (lub ujemne ciśnienie).

Warunek ten wstawiony do (12) da nam w rezultacie

Rozwiązania tego równania (spełniające też równanie 8) są:

R₀cosh(Ht)	dla	k = +1
R₀e^Ht	dla	k = 0
R₀sinh(Ht)	dla	k = -1

gdzie R₀ = c/H, zaś H = √(8πGρ / 3 + Λc² / 3) = const. Zauważmy, że dla Ht >> 1 mamy e^Ht ≈ 2sinh(Ht) ≈ 2cosh(Ht), a więc wszystkie trzy rozwiązania stają się podobne. Różnica jest natomiast w pobliżu t = 0, gdzie exp(Ht) oraz cosh(Ht) → 1, zaś sinh(Ht) → 0.

Okazuje się, że interwał czasoprzestrzenny przy ekspansji opisanej równaniami (16) ma postać:

1 - r²H² / c²

- r²(dΘ² + sin²Θ dφ²)

(uwaga! tu współrzędna 'r' ma wymiar długości). Rozmiar horyzontu otrzymamy z warunku ds = 0 (sygnał świetlny rozchodzący się radialnie), a więc z (17):

1 - r²H² / c²

Nawet gdy ct₀ → ∞, to r_H → c/H = const, a więc dla każdego obserwatora istnieje absolutnie nieprzekraczalny horyzont, spoza którego nigdy nie dotrą sygnały świetlne, nawet po nieskończenie długim czasie. Praktycznie już po czasie t = 10^-10 sekundy mamy ct = 3 i r_H ≈ c/H czyli stałe, podczas gdy przestrzeń nadal rozszerza się eksponencjalnie. Coraz to nowe rejony i obiekty wylatują poza dostępny naszemu obserwatorowi obszar. Ta własność ekspansji może doprowadzić do obserwowanej obecnie jednorodności promieniowania reliktowego i płaskości naszego świata. Model inflacyjny właśnie to wykorzystuje. Trzeba tylko znaleźć fizyczne uzasadnienie dla dziwnego równania stanu w postaci (14), czyli p = -ρc².

prof. Jerzy Sikorski

Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki
Uniwersytet Gdański
e-mail: fizjks@iftia.univ.gda.pl

Leptony, hadrony, kwarki

Leptony, hadrony,
kwarki

Kosmologia

OTW i czarne dziury

OTW
i czarne dziury

kilka ciekawych
problemów

artykuły, felietony
i polemiki

Do ściągnięcia:

»» 13. „Umasowienie” pola bezmasowego — zarys idei Higgsa »