| |
|
14. Inflacyjna faza ekspansji Wszechświata
| |
II. Zarys mechanizmu „inflacji”
Omawiane w poprzednim rozdziale („Umasowienie” pola bezmasowego — zarys idei Higgsa) pole skalarne Φ oraz mechanizm spontanicznego łamania symetrii, zostały zaadaptowane do skonstruowania podstaw teorii opisującej eksponencjalną (inflacyjną) fazę ekspansji wszechświata (A. Guth, A. Linde). Przeanalizujemy więc ewolucję takiego pola w ekspandującej czasoprzestrzeni. Będziemy zakładali, że pole Φ może być zmienne w czasie (Φ = Φ(t)), natomiast, ze względu na jednorodność i izotropowość wszechświata, jest ono (przynajmniej w obrębie horyzontu) jednakowe (czyli zerują się wszystkie jego pochodne po współrzędnych przestrzennych Φ,α = 0, α = 1, 2, 3). Przypomnijmy, że lagranżjan dla tego pola miał postać
| L(Φ, Φ,k) = - |
|
[ηijΦ,iΦ,j μ2Φ2] |
gdzie |
μ2 = |
|
| (1) |
i po wstawieniu do równań Lagrange'a otrzymywało się równanie Kleina-Gordona ( - μ2)Φ = 0. Ponieważ jednak, zgodnie z powyższym założeniem, zerują się pochodne przestrzenne, więc nasz lagranżjan będzie:
| L = - |
|
( 2) + |
|
μ2Φ2 |
| |
zaś z równania Kleina-Gordona pozostanie równanie falowe Φ" + μ2Φ = 0 (uwaga, przyjęto oznaczenia — kropka to pochodna po czasie 't', zaś 'prim' to pochodna po 'x0 = ct', czyli: := dΦ/dt, zaś Φ' := dΦ/d(ct) = Φ,0 = 1/c ). Mając lagranżjan można policzyć tensor energii - pędu.
Tensor energii - pędu
Niech funkcja Lagrange'a L = L(Φ, Φ,k) spełnia równania Lagrange'a
Rozpiszemy wyrażenie
Możemy także w tym wyrażeniu człon ∂L/∂Φ zamienić na ∂/∂xk ∂L/∂Φ,k z równań Lagrange'a i napisać
|
|
= |
|
|
|
Φ,i + |
|
Φ,k,i = |
|
 |
|
Φ,i |
![]](pics/nawias_kw_math-p.gif) |
. |
| |
Jednocześnie można podstawić ∂L/∂xi = δik ∂L/∂xk. Przenosząc wszyst-ko na jedną stronę dostaniemy warunek zachowawczy
|
|
|
δikL - |
|
Φ,i |
|
:= |
|
≡ Ti,kk = 0 |
. |
| |
Wielkość Tik to tensor energii - pędu dla pola Φ.
Przy uczynionych powyżej założeniach co do pochodnych funkcji pola, dostaniemy na tensor energii - pędu wielkości: T00 = 1/2(Φ')2 + 1/2 μ2Φ2 oraz T11 = T22 = T33 = - 1/2(Φ')2 + 1/2 μ2Φ2. Jednocześnie wiadomo, że dla ośrodków ciągłych (pól) wyrazy diagonalne to odpowiednio: T00 = ε — gęstość energii, zaś T11 = T22 = T33 = -p — ciśnienie. Z rozdziału o mechanizmie Higgsa wiemy też, że wyraz 1/2 μ2Φ2 można zastąpić ogólniejszym wyrażeniem potencjalnym V(Φ) i skorzystamy z tego w następnym rozdziale. Mamy więc obecnie dwa następujące wyrażenia:
| ε = |
|
(Φ')2 + V(Φ) |
| p = |
|
(Φ')2 - V(Φ) |
| (2) |
z których wynika:
| ε + p = (Φ')2 |
| ε - p = 2V(Φ) |
| (3) |
W ogólności mamy więc pewne równanie stanu typu p = p(ε) i jeśli dla jakichś wartości pola Φ zdarzy się V(Φ) = 0, to p = ε. Jeśli natomiast zdarzy się dla pewnych chwil t warunek = Φ' = 0, to wówczas otrzymamy osobliwe równanie stanu w postaci ε = - p . A taki właśnie warunek był niezbędny dla wywołania eksponencjalnej ekspansji.
W rozdziale — „Trudności modeli friedmannowskich” mieliśmy równanie (12) w postaci dε/dt = - 3H(ε + p), w którym gęstość energii ε = ρc2 związana była z gęstością masy we wszechświecie. Obecnie użyjemy gęstości energii i ciśnienia dla pola Φ z powyższych równań (2) i (3). Otrzymamy wówczas równanie
ogólniejsze niż proste równanie falowe Φ" + μ2Φ = 0 (tu H = R'/R). Do tego dochodzą poznane już wcześniej równania kosmologiczne:
|
 |
|
 2 |
+ |
|
= |
|
ε |
|
| (5) |
których rozwiązania przy warunku ε = - p opisują eksponencjalną ekspansję (rozwiązania de Sittera). Jeśli natomiast oprócz gęstości energii i ciśnienia pola Φ dopuścimy także gęstość energii i ciśnienie materii, czyli ε ⇒ ε + ρc2 oraz p ⇒ p + 1/3 ρc2, to wówczas równanie kosmologiczne będzie
|
|
2 |
+ |
|
= |
|
ε + |
|
ρc2 |
| (6) |
Gdy gęstość energii pola jest stała w czasie (ε = const), to pierwszy wyraz po prawej stronie jest stały i można go utożsamić ze stałą kosmologiczną 1/3 Λ = 8πG/3c4 ε. Ponieważ warunek ε = - p zachodzi, gdy Φ' = 0, a wówczas ε = V(Φ), a więc stała kosmologiczna wyraża się przez potencjał pola V(Φ):
Otrzymaliśmy więc propozycję nowego spojrzenia na stary pomysł einsteinowskiej stałej kosmologicznej.
Przykładowy scenariusz fazy inflacyjnej mógłby wyglądać następująco. W okolicy warunków planckowskich mamy jednorodne pole Higgsa, Φ, spełniające równanie falowe Φ" + μ2Φ = 0. Jego rozwiązanie jest oscylujące, istnieją więc chwile gdy Φ' = 0 i zachodzi warunek ε = - p. Wówczas rozpoczyna się inflacyjna ekspansja R(t) ∝ eH t, podczas której pole Φ spełnia równanie Φ" + 3HΦ' + μ2Φ = 0. Ogólne rozwiązanie tego równania zapiszmy w postaci:
| Φ(t) = Φ1e– λ1ct + Φ2e– λ2ct |
| (8) |
gdzie Φ1, Φ1 — stałe. Wstawiając to rozwiązanie do naszego równania (4) otrzymamy
| λ1,2 = |
|
Hm √ |
|
|
H2 - μ2 |
|
| (9) |
(przy czym H = R'/R). Rozważymy dalej przypadek 9/4 H2 > μ2 (gdyż w przeciwnym przypadku parametry λ1,2 są zespolone i nadal mamy rozwiązanie oscylujące). Przyjmujemy także H > 0, czyli ekspansję.
Ponieważ, jak widać z (9), λ1 << λ2, więc pierwszy wyraz rozwiązania (8) jest wolno malejący, drugi zaś szybko malejący. (W skrajnej sytuacji, gdy 9/4 H2 >>> μ2, mamy w przybliżeniu λ1 ≈ 0 i λ2 ≈ 3H). Oznacza to, że po pewnym, dość krótkim, czasie pozostaje tylko pierwszy — niemal stały — wyraz w rozwiązaniu (8), a wówczas Φ' ≈ 0 i w przybliżeniu zachodzi warunek ε ≈ - p. Jeżeli μ2/H2 << 1, to można λ1 rozwinąć w szereg i w przybliżeniu liniowym otrzymamy λ1 ≈ μ2/3H, a stąd Φ' ≈ - μ2/3H Φ. Jest to mały wyraz, bliski zera, lecz nie równy zero dokładnie.
Korzystając teraz z formuł (2) i (3), dostaniemy
| ε ≈ |
|
μ2Φ2 |
|
1 + |
|
|
| p = |
|
μ2Φ2 |
|
- 1 + |
|
|
| (10) |
a stąd
| p ≡ - ε |
|
1 - |
|
|
| (11) |
A więc faktycznie warunek ε ≈ - p spełniony jest w przybliżeniu. Ponieważ pole Φ(t) jest wolno malejące, więc również potencjał V(Φ) = 1/2 μ2Φ2 też jest wolno malejący, a tym samym stała kosmologiczna Λ oraz stała Hubblea H = R'/R = √(Λ/3) = √(8πG/3c2 V(Φ)) nie są idealnie stałe, lecz wolno malejące. Także rozwiązanie R(t) nie będzie idealnie typu de Sittera R(t) ∝ eH t, lecz raczej typu R(t) ∝ exp[∫H(t)dt]. Tym niemniej jest to nadal bardzo szybka, niemal eksponencjalna, ekspansja inflacyjna.
Przytoczona analiza wskazuje przynajmniej na możliwość zastosowania pola Φ do uzyskania efektu inflacyjnego rozszerzania. Jeśli w chwili t0 mielibyśmy wartość pola Φ(t0) ≠ 0, to pole takie oraz V(Φ) będzie ewoluowało w kierunku malejących wartości i po pewnym czasie osiągnie wartość zerową, kończąc tym samym inflacyjną ekspansję. Mankamentem tego wariantu jest jednak fakt, że potencjał V(Φ) ma minimum dla Φ = 0, czyli dla próżni i ewolucja taka nie jest w stanie wygenerować żadnych cząstek z masą. Dlatego zastosowano tu zmodyfikowany wariant teorii z użyciem mechanizmu spontanicznego łamania symetrii dla potencjału V(Φ), opisanego w rozdziale „Umasowienie” pola bezmasowego — zarys idei Higgsa. Przedstawimy to w kolejnym rozdziale tego wykładu.
prof. Jerzy Sikorski
| |
|
|
|
