|
W rozdziale „Podstawy Ogólnej Teorii Względności” stwierdzono, że einsteinowskie równania pola to w ogólności dość skomplikowany układ 10 równań różniczkowych, w których niewiadomymi są składowe gij tensora metrycznego. Układ ten udało się analitycznie rozwiązać dla kilku prostych sytuacji, w tym dla przypadku przestrzeni jednorodnie wypełnionej materią o stałej gęstości ρ. Przypadek ten odpowiada właśnie kosmologii, czyli opisowi własności i ewolucji Wszechświata jako całości.
Prawa strona równań Einsteina opisująca rozkład masy (energii) w przestrzeni — tzw. tensor energii - pędu Tij — brana jest z mechaniki ośrodków ciągłych i ma w tym przypadku następującą postać:
| [Tij] = |
 |
| ρc2 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
-p |
0 |
0 |
| 0 |
0 |
-p |
0 |
| 0 |
0 |
0 |
-p |
|
![]](pics/nawias_kw_math-big-p.gif) |
| (1) |
gdzie ρ to średnia gęstość materii we Wszechświecie zaś p to jej ciśnienie (obecnie praktycznie zaniedbywalne).
Dla określenia lewej strony równań Einsteina startuje się z interwału czasoprzestrzennego w postaci:
| dl2 = c2dt2 - R2(t) |
 |
|
+ r2dΘ2 + r2sin2Θ dφ2 |
 |
| (2) |
Przypominamy, że R to tzw. czynnik skalujący odległości przestrzenne, zaś k charakteryzuje typ krzywizny przestrzeni: k = 0 odpowiada przestrzeni euklidesowej, k = +1 przestrzeni o geometrii typu sferycznego zaś k = -1 geometrii typu hiperbolicznego.
Z formuły (2) mamy więc składowe gij w postaci:
| g00 = 1, |
g11 = - |
|
, |
g22 = - R2r2, |
g33 = - R2r2sin2Θ |
| |
Podstawową naszą niewiadomą jest jawna postać zależności R(t). Lewa strona równań Einsteina to dość skomplikowane funkcje pochodnych tensora gij. Wstawiając tam zapisane powyżej wielkości na g00, g11, g22, g33 otrzyma się po dość długich przekształceniach układ dwóch równań w postaci:
| 2 |
|
|
|
+ |
|
|
|
2 |
+ |
|
+ |
|
p = 0 |
| (3) |
|
|
|
|
2 |
+ |
|
- |
|
ρc2 = 0 |
| (4) |
(w dalszym ciągu będziemy używali przyjętego powszechnie skrótowego oznaczenia  := dR/dt. Równanie (4) można łatwo przekształcić do postaci:
| 2 |
|
| 2 |
|
- G |
|
= - |
|
| (5) |
Ponieważ jednak 4πR3 / 3 = V to wielkość o wymiarze objętości zaś ρV = M ma wymiar masy, więc (5) można (po wymnożeniu stronami przez dowolną jednostkową masę m = 1) zapisać:
| m2 |
|
| 2 |
|
- |
|
= - |
|
= const |
| (6) |
Równanie to przypomina formalnie znany z mechaniki klasycznej bilans energii kinetycznej i potencjalnej cząstki m w polu grawitacyjnym masy M, gdyż pierwszy z lewej wyraz w (6) to jakby energia kinetyczna, zaś drugi to energia potencjalna.
Skorzystamy też z prawa zachowania masy w ekspandującym obszarze o promieniu R (warunek ciągłości):
| ρV = M = const |
lub |
ρR3 = const |
lub: |
| |
gdzie indeks „0” odnosi się do dowolnej (np. obecnej) chwili t0.
Rozpatrzmy teraz poszczególne przypadki rozwiązania równania (5).
I. k = 0 (przestrzeń globalnie euklidesowa).
Tutaj prawa strona w (5) równa się zero, po lewej zaś stronie wielkość ρ zastępujemy zależnością (7). Otrzymujemy proste równanie różniczkowe:
| 2 = |
|
| (8) |
gdzie A2 = (8πG/3c2) ρ0R03 zawiera wszystkie wielkości stałe. Rozwiązanie równania (8) ma postać
| R(t) = |
|
|
Ac |
2/3 |
t2/3 = |
|
6πGρ0R03 |
1/3 |
t2/3 |
| (9) |
Zależność tempa ekspansji od czasu wyrazi się:
i zmierza do zera gdy t → ∞. Natomiast tzw. parametr Hubble'a:
| H(t) = |
|
|
| R |
|
= |
|
| (11) |
też zmierza z czasem do zera. Korzystając z otrzymanych powyżej rezultatów można też wyrazić zależność od czasu średniej gęstości materii:
Jest to tzw. „gęstość krytyczna” charakterystyczna właśnie dla wszechświata o geometrii euklidesowej. Dla gęstości ρ > ρc mamy bowiem przestrzeń o geometrii typu sferycznego z k = +1 zaś dla ρ < ρc przestrzeń ma geometrię hiperboliczną z k = -1.
II. k = +1 (geometria typu sferycznego).
W tym przypadku równanie (5) po podstawieniu (7) jest w postaci:
| 2 |
|
| 2 |
|
- |
|
= - |
|
| (13) |
W postaci całkowej wygląda to następująco:
gdzie, jak poprzednio podstawiono A2 = (8πG/3c2) ρ0R03.
Dla rozwiązania (14) dokonuje się podstawienia:
gdzie η to bezwymiarowy parametr pomocniczy.
Wówczas zależność R(t) otrzymujemy w postaci parametrycznej:
W chwili początkowej, dla η = 0 i t = 0 mamy R(0) = 0 (początkowa osobliwość). Wartości η = π odpowiada maksymalna wartość czynnika R = Rmax:
Odpowiada to czasowi t:
Następnie, dla 2π > η > π wielkość R(t) maleje (Wszechświat kurczy się) i osiąga znów osobliwość R = 0 dla η = 2π (ilustruje to rysunek na końcu tego rozdziału).
III. k = -1 (geometria hiperboliczna).
W tym przypadku równanie (4) jest podobne do (13) z drobną (lecz istotną) zmianą znaku po prawej stronie:
| 2 |
|
| 2 |
|
- |
|
= + |
|
| (19) |
zaś równanie (14) też jest podobne, z drobną różnicą znaku pod pierwiastkiem:
Tu także dokonuje się podstawienia (lecz z sinusem hiperbolicznym):
i otrzymuje się rozwiązania w postaci:
Tu także w chwili początkowej η = 0 (oraz t = 0) mamy osobliwość w postaci R = 0. Natomiast już dalsza ekspansja R(t) jest nieodwracalna (narastająca).
Graficznie zależność R(t) dla wszystkich trzech omówionych przypadków ilustruje poniższy rysunek.
Jak widać, wszystkie trzy rozwiązania zbiegają się w początkowej osobliwości R(t = 0) = 0. W jej pobliżu nie można już zaniedbywać ciśnienia ośrodka, który przy tych gęstościach i temperaturach jest już ultra - relatywistycznym gazem. Prześledzimy więc zachowanie się rozwiązań w tych warunkach.
Wychodzimy ze znanej postaci I. zasady termodynamiki (dla ekspansji adiabatycznej):
gdzie energia ośrodka E =εV = ρc2R3 (zaś ε = ρc2 to gęstość energii). Równanie stanu gazu dla relatywistycznego przypadku ma postać
Wstawiając powyższe podstawienia do (23), różniczkując i porządkując otrzymamy:
czyli εR4 = const. Zamiast równania (7) mamy więc teraz:
Taką właśnie postać na ρ musimy teraz wstawić do równania (4). Otrzymamy wówczas:
| 2 + kc2 = |
|
| (27) |
Dla przypadku k = 0 po prostym wycałkowaniu otrzymamy
| R(t) = |
|
|
1/4 |
t1/2 |
| (28) |
Dla pozostałych dwóch przypadków podobnie otrzymuje się w pobliżu osobliwości zależność typu:
Jest to bardzo ważna zależność, która przyda nam się przy opisie wczesnych etapów ewolucji wszechświata. Odnotujmy tu jednak, że uwzględnienie ciśnienia gazu nie chroni rozwiązań kosmologicznych przed osobliwością w chwili t = 0.
prof. Jerzy Sikorski
| 
