|
Otrzymane w poprzednim rozdziale („Kosmologiczne rozwiązania równań Einsteina”) równania kosmologiczne Friedmanna (równanie (3) i (4)), można także formalnie otrzymać na gruncie klasycznej teorii newtonowskiej. Rozważmy w tym
celu pewien dowolny kulisty obszar wszechświata — kulę o promieniu r wypełnioną jednorodnie masą M, o gęstości ρ.
Ze względu na ogólną ekspansję wszechświata promień naszej sfery zmienia się w czasie:  (t) = R(t) (gdzie || = 1 jednos-tkowy wersor, zaś R(t) to zmienny w czasie czynnik skali). Jednos-tkowa cząstka próbna m ma energię kinetyczną (wynikającą z udziału w ekspansji) oraz energię potencjalną w polu grawitacyjnym masy M:
| [E = |
|
m 2 - |
|
= m2 [1/2  - 4/3 πGρR2] |
| (1) |
co można przekształcić do postaci (przyjmując m2 = 1)
gdzie - kc2 = 2E, zaś k = 0, +1, -1. Jest to odpowiednik równania (4) z poprzedniego rozdziału.
Przy ekspansji adiabatycznej mamy równanie (z I zasady termodynamiki) dU + pdV = 0. Energia wewnętrzna w naszej kuli to energia związana z masą M, czyli U = Mc2 = 4/3 πR3ρc2. Wówczas różniczkowania dają nam
Po wstawieniu do I zasady termodynamiki i uporządkowaniu otrzymamy
Jest to tzw. warunek zachowawczy (który w formalizmie OTW wynika z zerowania się kowariantnej dywergencji tensora energii - pędu Tj;ii = 0).
Zróżniczkujmy teraz równanie (2) po czasie:
Wielkość  weźmiemy z równania (3) i otrzymamy:
Za prawą stronę kc2/R2 wstawimy równanie (2) i uporządkujemy:
Jest to tzw. równanie na przyspieszenie.
Dodając stronami równania (2) i (4) otrzymamy:
Jest to równanie identyczne jak równanie kosmologiczne (3) w poprzednim rozdziale. Jeśli ciśnienie jest zaniedbywalne (p = 0), to równanie (5) przy zastosowaniu (4) jest identyczne z równaniem (2).
Jak widać, można formalnie otrzymać kosmologiczne równania Friedmanna bazując na mechanice newtonowskiej. Jednak mimo formalnej poprawności rachunków, ideologia stojąca za nimi jest wątpliwej wartości. Trzeba bowiem pamiętać, że wszystko rozgrywa się tu w nieskończonej i euklidesowej przestrzeni, a kosmologia newtonowska obarczona jest znanymi „paradoksami” (paradoks grawitacyjny oraz paradoks Olbersa). W pełni zadowalające uzasadnienie dla otrzymanych równań otrzymuje się na gruncie ogólnej teorii względności.
prof. Jerzy Sikorski
| 
2
- 
