Teoria dynamo, czyli istnienie pola magnetycznego   we Wszechświecie Rafał Kosiński

Około roku 1600 William Gilbert, nadworny fizyk królowej angielskiej Elżbiety I, zaproponował śmiałą hipotezę wyjaśniającą, dlaczego zawieszona igła kompasu wskazuje kierunek północ-południe. Sądził on, że cała Ziemia jest wielkim magnesem i dlatego przyciąga igłę. Wówczas to, najprawdopodobniej po raz pierwszy, ktoś wysunął myśl, że astronomiczny obiekt posiada rozciągłe pole magnetyczne

	Rys. 1. Komputerowy model pola magnetycznego na powierzchni Słońca oparty na danych z sondy SOHO. Obszary o przeciwnych polaryzacjach (reprezentowane przez kolory biały i czarny) są powiązane polem magnetycznym. Panel w lewym górnym rogu przedstawia wysokiej rozdzielczości magnetogram (SOHO) ukazujący mieszaną polaryzację plam słonecznych. (źródło: Brekke, 2001)

Istnienie astronomicznych pól magnetycznych — problem MHD

    Materia tworząca Wszechświat istnieje głównie w formie plazmy, czyli zjonizowanego gazu, który przewodzi prąd elektryczny, ale jako całość jest elektrycznie obojętny. W pewnych warunkach, na skutek statystycznych fluktuacji plazmy, może powstać słabe, zalążkowe pole magnetyczne. Możemy spróbować wyobrazić sobie Wszechświat bez pola magnetycznego. Wówczas ewolucja zawartej w nim materii byłaby zgodna z podstawowymi równaniami hydrodynamiki

	Rys. 2. Diagram motylkowy ilustruje szerokość heliograficzną wynurzających się plam słonecznych w funkcji czasu

    Jak widać, dla Ziemi okres ten jest za krótki w porównaniu z jej wiekiem (ok. 5 mld lat), zatem konieczny jest mechanizm wzmacniający pole. W przypadku Słońca skala czasowa zaniku jest wystarczająca, ale problem tkwi w obserwowanym 11-letnim cyklu odwracania biegunowości, a zatem konieczny jest mechanizm powodujący oscylacje pola magnetycznego. Pomimo że okres zaniku galaktycznego pola magnetycznego sporo przewyższa wiek Wszechświata, pole to zostałoby ciasno nawinięte wokół Galaktyki przez jej rotację. Musi zatem istnieć proces, który temu zapobiega.

    Dodatkowo, jeśli zrezygnujemy z założenia braku wewnętrznego ruchu plazmy, ważne staną się efekty turbulentne (szerzej o tym dalej), a związana z nimi dyfuzja turbulentna znacznie przyspieszy zanik pól magnetycznych w gwiazdach i galaktykach. Wówczas po czasie dużo krótszym od czasu życia tych obiektów ich pola przestałyby istnieć. Ta własność stała się szczególnie problematyczna w kwestii generacji astrofizycznych pól magnetycznych.

    Zapostulowany został mechanizm wzmocnienia astrofizycznych pól magnetycznych, nazwany terminem hydromagnetycznego dynamo. Działanie takiego dynamo polega na wzmocnieniu pól kosztem energii kinetycznej wielkoskalowego przepływu (różnicowa rotacja) oraz energii kinetycznej ruchów drobnoskalowych (turbulencja).

    Aby uprościć zagadnienie, skoncentrujemy się na podstawowej fizyce. Rozważamy zatem plazmę z wmrożonym w nią polem magnetycznym, kiedy to jej ruch pociąga za sobą przemieszczanie linii pola

	Rys. 3. Rozkład pola magnetycznego w spiralnej galaktyce M51 uzyskany z obserwacji polarymetrycznych. (źródło: Neininger, 1992)

    Podstawowe twierdzenie w teorii dynamo podał w 1934 r. Cowling: stacjonarne osiowosymetryczne pole magnetyczne nie może być utrzymane przez pole prędkości o tym samym charakterze. Osiowo-symetryczne pole posiada zarówno składnik poloidalny B_p, jak i składnik toroidalny (azymutalny) B_φ. (W geometrii sferycznej składowe wektora pola poloidalnego mają kierunek ri θ, zaś toroidalnego — φ. Kierunki te schematycznie pokazuje

	Rys. 4. Reprezentacja geometrii sferycznej i lokalnego prostokątnego (kartezjańskiego) układu współrzędnych na obiekcie kulistym. Kierunkom sferycznym r, θ, φ odpowiadają kierunki prostokątne x, y, z

    W 1955 r. Parker zaproponował mechanizm generacji magnetycznego pola, zwany dynamem turbulentnym

	Rys. 5. (a) Rozciąganie początkowo poloidalnego pola magnetycznego (linia oznaczona przez 0) do kolejnych azymutalnych pozycji (1 i 2) przez różnicową rotację (poziome wektory). (b) Tworzenie poloidalnego strumienia z toroidalnego przez ruchy unosząco-skręcające

    Formalne i systematyczne podejście do problemu dynamo rozwinęli w 1966 r. Steenbeck, Krause i Rädler w magnetohydrodynamicznej teorii średniego pola. Wymyślili oni schemat, który pozwala traktować turbulencję w kontekście statystycznego zespołu wielkości fizycznych, takich jak prędkość i pole magnetyczne, poddanych fluktuacjom. Taką wielkość, na przykład pole B, można zapisać jako sumę części uśrednionej oraz części zaburzającej: B =  + B'. Podstawiając takie rozwinięcie do równania indukcji i uśredniając całe równanie, wywnioskujemy z niego istnienie tzw. średniej siły elektromotorycznej turbulencji.

    Działa ona jak dodatkowe źródło średniego prądu i wpływa znacząco na ewolucję pola magnetycznego. W ten sposób turbulentne fluktuacje zapoczątkowują specjalną siłę elektromotoryczną. Cały sekret turbulentnego dynamo kryje się właśnie w tej wielkości.

    Aby znaleźć równanie, które w prezentowanej teorii opisuje ewolucję średniego pola magnetycznego dokonuje się szeregu założeń. Między innymi zakładamy, że zaburzające pole prędkości i pole magnetyczne są ze sobą skorelowane (zaburzenie prędkości wpływa na zaburzenie pola magnetycznego). Warunkiem jest również znajomość średniego pola prędkości i statystycznych własności jego fluktuacji. Przyjmujemy też, że turbulencja jest jednakowa we wszystkich kierunkach (izotropowa). Ostatecznie dostaniemy zgrabne równanie na ewolucję średniego pola magnetycznego w teorii dynamo kinematycznego:

d ⁄ dt = ( · ) +  × (α) + (η + ηT)2.

(1)

    Parametry α i η_T zależą od statystycznych własności turbulentnego pola prędkości.

	Rys. 6. Kolejne etapy procesu dynamo turbulentnego oraz schematyczna prezentacja idei

    Równanie to pokazuje, że η_T ma naturę współczynnika dyfuzji. Jest to właściwie tzw. dyfuzja turbulentna, która dla wielu układów astrofizycznych okazuje się być wiele rzędów wielkości większa od oporności molekularnej η w obszarach turbulentnych.

    Współczynnik α, będący miarą ruchu helikalnego w płynie turbulentnym, jest decydujący w procesie dynamo generacji pól magnetycznych. To właśnie przepływ helikalny prowadzi do skręcenia toroidalnego pola, produkując składnik poloidalny.

    Dużym uproszczeniem jest traktowanie turbulencji jako izotropowej (w słonecznej strefie konwektywnej jest ona daleka od izotropowości), co jednak ułatwia nam obliczenia analityczne. Tak naprawdę trudność sprawia teoretykom policzenie współczynników α i η_T z podstawowych zasad, a rzędy wielkości tych parametrów są uzyskiwane na podstawie bardzo ogólnych dyskusji.

    Turbulencja pozostaje jednym z poważniejszych nie rozwiązanych dotychczas problemów fizyki, a w teorii dynamo odgrywa kluczową rolę. Często uważa się, że turbulencja niszczy wszelki ład, ale proces dynamo jest przykładem sytuacji, w której wielkoskalowe uporządkowane struktury wyłaniają się niejako z niej samej.

Ramka 2. Hydro- i magnetohydrodynamika Hydrodynamika bada zachowanie się ośrodka ciągłego, jakim jest ciecz, gaz czy plazma, poddanego działaniu określonych sił. Posługuje się przy tym prawami zapisanymi w postaci zwartego układu równań opisującego ewolucję gęstości masy ρ (równanie ciągłości), energii (równanie energii) oraz prędkości v (równanie ruchu) w czasie t. Równania te wyrażają prawa zachowania odpowiednio masy, energii i pędu i zapisuje się je w postaci różniczkowej.     W opisie ośrodka ciągłego często stosuje się dodatkowe założenia. Założenie stacjonarności oznacza, że w danym punkcie niezależnie od ruchu, dana wielkość fizyczna (np. prędkość) nie zmienia się w czasie. Natomiast osiowosymetryczny przepływ to brak zmian danej wielkości w kierunku wokół osi obrotu układu.     Kiedy w ośrodku jest pole magnetyczne, opisujemy je równaniem indukcji dB ⁄ dt = (B·)v + η2B     Równanie to jest konsekwencją praw Ampére'a, Faradaya i Ohma (fundamentalnych w elektrodynamice) i charakteryzuje pole magnetyczne B w polu prędkości v. [d ⁄ dt oznacza pochodną po czasie, a (czyt. nabla) wektorowy operator różniczkowy w przestrzeni. Znak „·” oznacza iloczyn skalarny]. Współczynnik η jest dyfuzją magnetyczną (opornością molekularną), która określa stopień sprzężenia pola z plazmą. Jeśli w rozważanym ośrodku dyfuzję można zaniedbać (znika drugi wyraz po prawej stronie powyższego równania), mówimy, że pole B jest wmrożone w plazmę (sprzężenie jest silne) i porusza się wraz z nią. [Wmrożenie pola w plazmę zobrazować można następująco. Wyobraźmy sobie bryłkę plasteliny (plazma), w której zatopiona jest elastyczna nitka (linia pola magnetycznego). Jeśli będziemy odkształcać plastelinę (ruch plazmy), to nić będzie się poddawać odkształceniom.] W przeciwnym wypadku, gdy dyfuzja jest dominująca w ośrodku (znika pierwszy wyraz po prawej stronie równania indukcji), pole niejako „ucieka” z układu.     Pole magnetyczne wpływa oczywiście na ewolucję prędkości i energii gazu. W równaniu energii pojawia się dodatkowe źródło grzania, zaś w równaniu ruchu pojawia się dodatkowy składnik — siła Lorentza ∼ j × B. [Znak „×” oznacza iloczyn wektorowy.] Natężenie prądu na jednostkę powierzchni, czyli gęstość prądu j jest ściśle związana z polem B. Powyższe równanie, wraz z równaniem ciągłości, energii i ruchu, stanowi podstawę magnetohydrodynamiki (MHD).

Mały test

    Odpowiednie potraktowanie równania

ND ≈  τdyfuzji τdynamo ,

czyli stosunek skal czasowych: zaniku (wskutek dyfuzji turbulentnej) pola magnetycznego i jego wzmacniania (w procesie dynamo). Na Słońcu obserwujemy stopniowy wzrost poloidalnego składnika pola magnetycznego, potem jego osłabienie, a następnie znów wzrost w okresie 22 lat. Oscylacyjny charakter procesu wymaga, aby |N_D| > 1. Wówczas okres zmian jest

τ ≈  1 ηT   λ 2π ,

z λ będącą charakterystyczną długością fali. Podstawiając oszacowane z obserwacji parametry η_T ≈ 3 × 10¹² cm² s ^– 1, λ ≈ 5 × 10¹⁰ cm, otrzymamy τ ≈ 20 lat, co jest porównywalne z obserwowanym okresem słonecznego cyklu 22 lat.

Inne wyniki kinematycznego dynamo

	Rys. 7. Numeryczne rozwiązanie oscylacyjnego dynamo αω. Na 12 cięciach w płaszczyznie południkowej są pokazane kontury stałej siły toroidalnego pola (po lewej stronie cięcia) oraz linie sił pola poloidalnego (po prawej). Strzałki wskazują siłę i znak pola na biegunach. Skala czasowa wynosi 11 lat, czyli połowę cyklu słonecznego. (źródło: Stix, 1976)

    Aby wykazać, że kinematyczne dynamo αω faktycznie działa na Słońcu i w galaktykach, należy numerycznie rozwiązać ogólny problem wartości własnych równania

Ramka 3. Dynamo αω Twierdzenie Cowlinga możemy zrozumieć, rozpatrując równanie indukcji. Na Słońcu równikowe obszary obracają się szybciej niż biegunowe, a taka różnicowa rotacja wyciąga czysto poloidalne pole Bp i wytwarza strumień toroidalny Bφ. Zakładając pola osiowosymetryczne B = Bφ + Bp oraz v = vφ + vp, składową azymutalną równania indukcji możemy zapisać (we współrzędnych sferycznych) jako dBφ ⁄ dt = rBp×(vφ ⁄ r) plus oczywiście wyraz związany z dyfuzją składnika toroidalnego, którego dla przejrzystości tu nie zapisujemy. [vφ to wartość składowej azymutalnej prędkości, zaś r — kierunek radialny]. Równanie to pokazuje, że Bφ może być wytworzone z Bp na skutek rotacji — wyraz po prawej stronie tego równania zawiera iloczyn Bp i tzw. efektu ścinania prędkości kątowej ω ≡ vφ ⁄ r. Dlatego proces produkujący Bφ z Bp w trakcie różnicowej rotacji nosi miano efektu ω (omega).     Trudność z polem osiowosymetrycznym polega na tym, że składnik poloidalny nie może być utrzymany. Okazuje się bowiem, że w składowej poloidalnej równania indukcji brak jest wyrazu pozwalającego na formowanie Bp z Bφ. Oznacza to w tym przypadku, że składnik poloidalny zanika (na rzecz pola toroidalnego) i nie jest generowany poprzez przepływ osiowosymetryczny.     Rozwiązaniem problemu okazało się być chaotyczne pole prędkości. Parker (1955) wymodelował sumaryczny efekt wielu turbulentnych komórek konwektywnych, dodając do poloidalnej części równania indukcji wyraz αBφ, wynikający z helikalnej konwekcji. Efekt pochodzący od tego wyrazu nazywany jest efektem α (alfa). To właśnie dzięki niemu poloidalne pole magnetyczne Bp może być generowane przez składnik toroidalny Bφ.     Kiedy oba zjawiska — rotacja i konwekcja — są istotne, wówczas mamy do czynienia z dynamo αω i charakteryzuje ono pole magnetyczne na Słońcu i w Galaktyce. Z kolei mechanizm z samym efektem α (gdy rotacja różnicowa jest słaba) nazywamy dynamem α2 i związane jest z ziemskim polem magnetycznym.

Uwagi końcowe

	Rys. 8. Diagram motylkowy uzyskany przez numeryczne rozwiązanie równań dynamo. (źródło: Yoshimura, 1975)

    Chociaż zaprezentowane podejście dynamo kinematycznego dało nam dużo mówiące wyniki, to wciąż jesteśmy daleko od prawdziwie ilościowego modelu dynamo w astrofizycznym Wszechświecie.

    Wiele uwag poświęcono kwestii fundamentalnych trudności w teorii słonecznego dynamo. Po pierwsze podkreślono, że pojedyncze tzw. cienkie rury magnetyczne w strefie konwektywnej unoszą się wskutek wyporności bardzo szybko, bo w skali jednego miesiąca, co jest zbyt krótkim okresem na utrzymanie pola w mechanizmie dynamo. Ponadto heliosejsmologiczne obserwacje sprzed dekady ujawniły, iż główna strefa konwektywna rotuje z powierzchnią Słońca prawie nieróżnicowo. Te problemy w teorii zostały niejako rozwikłane poprzez przeniesienie akcji dynamo ze strefy konwektywnej do jej podstawy, bliżej jądra, gdzie wyporność magnetyczna jest mała, a radialny gradient rotacji znaczny.

    Badania procesów nieliniowych z połowy lat 90. pokazały dodatkowo, że dokładna natura wzajemnego oddziaływania pola magnetycznego i ruchu plazmy nie sprowadza się wyłącznie do jego powstrzymywania, lecz posiada bardziej subtelny efekt w postaci „zapamiętania” ruchu płynu. To oznacza, że podstawowe założenie teorii kinematycznego dynamo nie może być dłużej usprawiedliwione.

	Rys. 9. Jeden z wcześniejszych modeli galaktycznego dynamo. (źródło: Fujimoto i Sawa, 1990)

    Jako inny wariant w stosunku do dynamo średniego pola zaproponowano teorię dynamo cienkich rur strumienia magnetycznego, gdzie pole jest zlokalizowane we włóknistej strukturze w odróżnieniu od pola rozciągłego zakładanego w teorii dynamo klasycznego. Takie podejście wynikło z obserwowanych własności słonecznych pól magnetycznych silnie skoncentrowanych w wydłużonych konfiguracjach, a potwierdzeniem jego stosowalności są obliczenia wyjaśniające wiele cech plam słonecznych.

    W podstawowych studiach nad procesem dynamo wskazano istnienie odmiennego — w stosunku do klasycznego — typu tego mechanizmu: szybkiego dynamo, którego elementem jest zjawisko szybkiej rekoneksji (przełączania) pola magnetycznego.

    Z teorią dynamo galaktycznego, choć rozwijaną w ostatnich latach, są podobne problemy związane z założeniami dynamo kinematycznego i średniego pola. Złożoność zagadnienia potęgują efekty wybuchów supernowych, wielofazowości międzygwiazdowego gazu, promieniowania kosmicznego itd.

    Ze względu na wymienione ograniczenia podejścia kinematycznego, próbuje się od jakiegoś czasu zaatakować problem za pomocą numerycznego rozwiązywania pełnego układu równań MHD w teorii nieliniowego (dynamicznego) dynamo. Tą drogą turbulencja jest produkowana w symulacjach komputerowych, a pole prędkości jest liczone spójnie z efektem wprowadzonych sił Lorentza. Omówienie dość obszernej kwestii takiego podejścia zostawiamy sobie jednak na inną okazję.

Literatura:

[1] A. R. Choudhuri, The Physics of Fluids and Plasmas, Cambridge Univ. Press 1998.

[2] J. D. Jackson, Elektrodynamika klasyczna, PWN, Warszawa 1982.

[3] E. N. Parker, Hydromagnetic Dynamo Models, ApJ 1955.

[4] E. R. Priest, Solar Magnetohydrodynamics, Reidel Pub. Comp. 1984.

[5] T. Tajima, K. Shibata, Plasma Astrophysics, Addison-Wesley Reading 1997.

[6] Astrofizyczna baza danych NASA: