Zadanie 1 z II etapu XXIV Olimpiady
Astronomicznej
Rys. 1
Na wykresie (rys. 1) przedstawiono zmiany jasności obserwowane dla cefeidy klasycznej, której typ widmowy zmienia się od F0 do G0. Przyjmując jako jednostkowy promień cefeidy w maksimum jasności oblicz promień tej cefeidy w minimum jasności.
Rozwiązanie
Zmianom blasku cefeid towarzyszą zarówno zmiany temperatury powierzchniowej jak promienia, przy czym wzrost każdego z tych parametrów, przy ustalonym drugim, powoduje wzrost jasności gwiazdy. W przypadku cefeid wiadomo, że wzrostowi jasności odpowiada wzrost temperatury, w związku z tym typ widmowy rozpatrywanej cefeidy wynosi F0 w momencie maksimum jasności i G0 w minimum. Oznaczając indeksem max wielkości odpowiadające maksimum blasku a indeksem min odpowiednie wielkości dla minimum, na podstawie praw promieniowania ciała doskonale czarnego, można zapisać:
gdzie L jest mocą promieniowania gwiazdy, R jej promieniem a T temperaturą efektywną. Natomiast na podstawie wzoru fotometrycznego Pogsona mamy:
gdzie m jest jasnością obserwowaną, a I natężeniem oświetlenia. Ponadto można przyjąć, iż cefeida znajduje się w stałej odległości od obserwatora Dmax = Dmin, z czego wynika, że:
Uwzględniając zależności (1), (2) i (4) we wzorze (3) otrzymamy:
a stąd:
Amplitudę zmian jasności mmax – mmin = 0,m58 odczytujemy z wykresu, a temperatury efektywne oceniamy z typów widmowych. Przyjmując (wg Astronomii ogólnej E. Rybki), że typowi widmowemu F0 odpowiada temperatura efektywna 7000 K, a typowi G0 — 6000 K otrzymujemy ostateczny wynik: Rmin = 1,04 Rmax, co oznacza, że podczas minimum blasku promień cefeidy jest o 4% większy od promienia jaki ma ona w maksimum.
Należy w tym miejscu zaznaczyć, że temperatura efektywna odpowiadająca danemu typowi widmowemu zależy między innymi od klasy jasności gwiazdy. Uwzględnienie tego faktu w obliczeniach nie zmienia jednak szukanej relacji między promieniami. Rozmiary cefeidy klasycznej w minimum jasności pozostają nadal większe (rzędu 10%) od jej rozmiarów podczas maksimum.